21 세기의 현대 수학 — 페렐만 · 모치즈키 신이치 · 테렌스 타오와 밀레니엄 문제

21 세기의 수학 — 3 개의 극단적 생애

수학의 계보 시리즈 최종 글에서는, 21 세기의 현대 수학 을 대표하는 세 사람을 따라간다. 어느 쪽도 극단적인 인생의 선택 을 한 인물:

• 그리고리 페렐만 (1966-) — 러시아, 푸앵카레 추측을 증명 하고, 필즈상 · 100 만 달러 상금 둘 다 사퇴 하고 은둔
• 모치즈키 신이치 (1969-) — 일본, 500 페이지의 독자 이론 으로 ABC 예상을 증명했다고 주장하지만 국제적 합의는 미달
• 테렌스 타오 (1975-) — 오스트레일리아, 「현대의 폰 노이만」 이라 불리는 만능 수학자, AI 와 수학 의 융합을 추진

이전 글 [튜링 · 와일즈] 의 「고독한 작업」 계보가, 21 세기에는 더 극적인 형태 로 나타난다. 그리고 2500 년의 수학사를, 이 시리즈는 마무리 짓는다.

그리고리 페렐만 — 100 년의 문제를 풀고 사라진 남자

그리고리 야코블레비치 페렐만 (Григо́рий Я́ковлевич Перельма́н, 1966-) 은 러시아 · 레닌그라드 (현 상트페테르부르크) 태생의 유대계 수학자. 100 년간 미해결이었던 푸앵카레 추측을 2002-2003 년에 증명 했다.

2006 년 필즈상, 2010 년 클레이 수학 연구소의 100 만 달러 상 (밀레니엄 현상 문제) 의 어느 쪽도 사퇴 하고, 현재는 상트페테르부르크에서 어머니와 함께 조용히 살고 있다 고 여겨진다. 「미디어의 주목」 「수학계의 불공정」 을 강하게 싫어하여, 공공의 장에서 완전히 물러났다.

푸앵카레 추측 (1904) 과 리치 흐름

푸앵카레 추측 (이전 글 [힐베르트 · 푸앵카레 · 괴델] 참조) 은:

「단연결 폐 3 차원 다양체는 3 차원 구면 S³ 에 동상인가」

라는 기하학적 질문. 100 년간, 위상 기하학적 접근으로 계속 도전받았지만 본질적 진전이 없었다.

• 5 차원 이상 — 스메일 (1961) 이 증명, 필즈상
• 4 차원 — 프리드먼 (1982) 이 증명, 필즈상
• 3 차원 — 유일하게 남은

페렐만은 「리치 흐름」 (Ricci flow), 즉 다양체의 계량을 곡률 텐서에 따라 시간 발전시키는 해석적 방법 을 이용했다. 이는 리처드 해밀턴이 1980 년대에 시작한 수법 으로, 페렐만은 그 기술적 · 개념적 장애를 완전히 넘어, 더 일반적인 서스턴 기하화 예상 채로 해결했다.

2002-2003 — 3 편의 프리프린트

페렐만은 2002 년 11 월부터 2003 년 7 월에 걸쳐, arXiv 에 3 편의 프리프린트 를 투고:

1. [The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications] (2002-11)
2. [Ricci flow with surgery on three-manifolds] (2003-3)
3. [Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds] (2003-7)

사독 논문지에 투고하지 않고, arXiv 에 직접 투고 했다. 논문은 극도로 압축 되어 있어, 세부를 채우기에는 장대한 해독 작업 이 필요했다.

3 개의 독립 그룹 이 각각 상세한 검증:

• 차오 · 주 시핑
• 클라이너 · 로트
• 모건 · 티안

모두 페렐만의 논의가 옳다는 것을 확인 했다. 21 세기의 「오픈 사이언스」 의 선구 사례.

필즈상 사퇴 (2006)

2006 년, 국제 수학자 회의 (마드리드) 에서, 페렐만에게 필즈상 이 수여되는 것이 발표되었다. 그는 수상을 사퇴한 최초의 인물 이 되었다 (이 이전에 사퇴자는 존재하지 않는다).

사퇴의 이유:

「상은, 나의 증명이 옳은지 아닌지와는 아무런 관계도 없다. 증명이 옳다면, 그 이상의 인지는 불필요하다」

• 수학계의 불공정 에의 실망 (특히 차오 · 주의 논문이 자신의 증명을 「완성」 시킨 것처럼 발표된 것)
• 미디어의 과잉 주목 에의 혐오

100 만 달러 사퇴 (2010)

클레이 수학 연구소 는 2000 년에 「밀레니엄 현상 문제」 7 개 를 설정하고, 각 100 만 달러의 상금을 제시했다:

1. 리만 가설
2. 푸앵카레 추측 ← 유일하게 해결됨
3. 양-밀스 이론과 질량 갭
4. 나비에-스토크스 방정식
5. 호지 예상
6. 버치 · 스위너턴 다이어 예상
7. P 대 NP 문제

2010 년, 페렐만의 푸앵카레 추측 증명에 대해 상금이 인정 되었다. 그는 이것도 사퇴:

「나의 공헌은 해밀턴과 동등하거나, 그 이하다. 그에게 주어야 할 상금을 나만이 받는 것은 불공정이다」

「상금의 100 만 달러보다, 수학의 정의」 를 선택했다. 수학사에서의 전대미문의 선택.

페렐만의 인간상

• 현악기를 연주하고, 문학 · 철학을 깊이 사랑한다
• 수학에 관한 논의에는 개방적이었지만, 미디어 취재는 철저히 거부
• 식생활은 소박 (호밀빵, 요구르트 등)
• 러시아인 · 유대계로서, 소련 말기 · 러시아 혼란기를 살아 나갔다
• 어머니 류바와의 유대가 깊고, 현재도 동거
• 1992-1995 년에 미국 (NYU, SUNY, Berkeley) 에 체재하여, 리치 흐름을 배운 후, 러시아로 귀국. 미국에 머물 선택지를 선택하지 않았다

「당신은 수학을 포기했는가?」 라고 물어진 페렐만:

「수학을 포기한 것은 아니다. 커뮤니티에 실망했을 뿐이다」

모치즈키 신이치 — 500 페이지의 「우주제」 이론

모치즈키 신이치 (望月新一, 1969-) 는 도쿄 태생의 수학자. 교토 대학 수리 해석 연구소 (RIMS) 교수. 「우주제 타이히뮐러 이론」 (Inter-universal Teichmüller theory, IUTT) 을 구축하여, 이에 의한 「ABC 예상」 의 증명 을 2012 년에 발표 했다.

그러나 이 증명은 500 페이지 초의 극히 난해한 독자 이론에 입각 하고 있어, 세계의 수론 기하 커뮤니티의 태반이 완전히는 검증할 수 없는 상태 가 계속되고 있다. 2020 년, 교토 대학의 저널 PRIMS 에서 사독을 거쳐 출판 되었지만, 피터 숄체 (필즈상 2018) 를 필두로 이론도 뿌리 깊고, 현재 (2026 년) 도 국제적 합의에는 이르지 않았다.

ABC 예상 — 「수론의 만능 정리」

ABC 예상 (Oesterlé-Masser, 1985) 은, 정수 a + b = c (서로소) 에서의 합 c 와 「근기」 (rad: 소인수의 곱) 와의 관계 에 대한 예상:

임의의 ε > 0 에 대해, 어떤 상수 K_ε 가 존재하여, c ≤ K_ε · rad(abc)^(1+ε)

직관적으로는 「a + b = c 로 소인수가 작은 것뿐 (예를 들어 a, b, c 가 높은 소멱) 은 좀처럼 일어나지 않는다」 .

ABC 예상의 계

이 예상이 참이라면, 한 줄로 이하의 20 세기 수론의 주요 문제가 대량으로 따른다:

• 페르마 최후 정리 (큰 지수의 경우)
• 카탈랑 예상 (연속 멱)
• 모델 예상 (대수 곡선의 유리점 유한성) 의 유효판
• Wieferich 소수 의 무한성

「수론의 만능 정리」 의 이명을 갖는다. 하나 풀리면, 20 세기 수론이 단숨에 정리된다.

모치즈키의 걸음

• 1969 년 — 도쿄 태생. 아버지는 경제학자
• 1985 년 — 16 세에 도미, 엑세터 아카데미 입학
• 1992 년 — 프린스턴 대학 박사호 (지도 교관: 팔팅스), 23 세
• 1994 년 — 교토 대학 수리 해석 연구소 조교수, 후에 교수
• 1990 년대 — Hodge-Arakelov 이론을 구축
• 1996-2000 년 — 원 아벨 기하학에의 중요한 공헌 (그로텐디크 예상의 특수 케이스 해결)
• 2000 년대 — 우주제 타이히뮐러 이론을 독력으로 구축
• 2012 년 8 월 — 4 편의 IUTT 논문을 RIMS 의 사이트에 공개
• 2020 년 4 월 — 교대 PRIMS 에서 사독을 거쳐 출판

팔팅스, 드린펠트, 그로텐디크 등의 대수 기하학 전통의 계승자이며, 그 위에 대담하게 「이탈한 스타일」 로 알려져 있다.

우주제 타이히뮐러 이론 (IUTT)

IUTT 는 다음과 같은 특징을 갖는다:

1. 복수의 수학적 우주 (Galois categories) 를 생각한다 — 다른 체계를 「병렬로」 달리게 한다
2. theta link — 두 우주 사이를 「대칭성 파괴」 를 포함하는 대응으로 연결한다
3. 가법과 승법의 분리 — 통상의 대수에서는 일체였던 가법 구조와 승법 구조를 분리하고, 재구성한다
4. Frobenioid — 환이나 군과는 다른, 모치즈키 독자의 대수 구조

이로써, ABC 예상의 부등식은, theta link 를 경유한 두 우주의 「사이즈」 비교로서 얻어진다 — 라는 것이 논의의 골자.

검증 논쟁 — 숄체 방일 (2018)

2018 년, 페터 숄체 (Peter Scholze, 당시 25 세로 필즈상 최유력) 와 야코브 스틱스 가 교대를 방문하여, 5 일간에 걸쳐 모치즈키와 직접 논의. 그들은 IUTT 의 「Corollary 3.12」 (핵심적 부등식) 에 치명적인 갭이 있다 고 주장하는 보고서 [Why abc is still a conjecture] 를 공표.

모치즈키는 「그들은 IUTT 를 오해하고 있다」 라고 반론하고, 장대한 응답 문서를 공개했다. 2020 년에 교대의 사독을 거쳐 논문은 출판되었다 지만, 숄체, Kiran Kedlaya, Brian Conrad 등 세계의 대수 수론 커뮤니티의 주요 멤버는 여전히 증명을 받아들이지 않는다.

이는 현대 수학계에서의 이례적인 사건 이며, 「사독이 성립하지 않는 논문」 「언어적 · 문화적 격절」 「수학 커뮤니티의 사회학적 문제」 로 논의되고 있다.

카토 후미하루 [우주와 우주를 잇는 수학]

일본어권에서는, 카토 후미하루 (도공대 → 도쿄대) 의 해설서 [우주와 우주를 잇는 수학] (2019, KADOKAWA) 이 결정적 역할을 다했다. 일반 독자용으로 IUTT 의 에센스 를 전하는 명저.

「일본 로컬」 이라는 딱지 를 붙이기 쉽지만, 다마가와 아키오 · 호시 유이치로 · 야마시타 츠요시 · Go Yamashita 등 IUTT 를 완전히 이해한다고 여겨지는 수학자는 세계 각지에 존재. 「언어가 다른 수학의 우주」 라는 현대 과학 사회학의 드문 사례.

테렌스 타오 — 「현대의 폰 노이만」

테렌스 치션 타오 (Terence Chi-Shen Tao, 陶哲軒, 1975-) 는 홍콩계 오스트레일리아인 의 수학자. 애들레이드 태생.

• 10 세 — IMO 동
• 11 세 — IMO 은
• 12 세 — IMO 금 (역사상 최연소, 2023 년까지 기록 보유)
• 14 세 — 학사호
• 16 세 — 석사호
• 17 세 — 프린스턴 대학 박사 과정 입학 (지도 교관: 스타인)
• 21 세 — Ph.D.
• 24 세 — UCLA 정교수
• 31 세 — 필즈상 (2006)

조화 해석, 가법적 조합론, 편미분 방정식, 확률론, 해석적 정수론, 랜덤 행렬 등, 극히 넓은 영역에서 제 1 급의 업적. 「현대 수학의 만능의 재능」 이라 평가되어, 폰 노이만 이래의 범재 라 불린다.

타오의 수학 스타일 — 「번역 능력」

타오의 수학 스타일은 「복수 분야의 수법을 자유자재로 융합시키는」 것. 그 자신:

「수학적 성숙이란, 어떤 특정 영역에 깊이 침잠하는 것이 아니라, 복수의 영역을 오가는 번역 능력에 있다」

라고 말한다. 이전 글의 푸앵카레 (마지막 만능 수학자) 이래, 100 년 만에 나타난 「모든 영역을 조망하는」 타입의 수학자.

그린 · 타오의 정리 (2004)

벤 그린과의 공저 논문 [The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions] 에서:

「소수 중에는 임의의 길이의 등차 수열이 존재한다」

를 증명했다. 이는 1939 년에 van der Corput 이 길이 3 의 경우 를, 오랫동안 그 이상의 진전이 없었던 문제.

증명의 핵심:

• 세메레디의 정리 (양의 밀도를 갖는 정수 집합은 임의 길이의 등차 수열을 포함한다) 를 Furstenberg 의 에르고드 이론적 증명 을 경유
• 소수의 집합을 「거의 랜덤」 한 부분 집합으로서 근사 (소수의 의사 랜덤성)
• Goldston-Yıldırım 의 체 를 활용

복수의 분야 (조합론 · 해석 · 에르고드 이론 · 정수론) 를 통합한 대표 예. 이로써 타오는 2006 년 필즈상.

타오의 업적군

업적	내용	공저
그린 · 타오의 정리 (2004)	소수 중에 임의 길이의 등차 수열	Ben Green
카케야 예상 · 제한 예상	조화 해석의 중심 문제	단독/Bourgain 외
나비에-스토크스 방정식	유한 시간 폭발의 가능성	단독 (2016)
압축 센싱	스파스 신호의 복원 이론	E. Candès
랜덤 행렬	보편성, 고유값 분포	Van Vu 외
호른 예상	에르미트 행렬의 고유값	Knutson 외

압축 센싱 은 현대의 MRI 이미지 취득, 신호 처리, 기계 학습의 특징 선택 의 이론 기반.

타오의 블로그 [What’s new]

타오는 2007 년부터 자신의 블로그 [What’s new] (terrytao.wordpress.com) 를 운영하고, 연구 진전 · 교육적 해설 · 수학계의 화제 를 계속 발신하고 있다. 총계 1000 편 이상의 기사 는, 현대 수학의 최고봉의 지식을 오픈으로 전하는 희유한 리소스.

교과서 [Analysis I, II] 는 엄밀한 실해석 입문서로서 세계에서 쓰인다.

「대 수학자가 일반 공개의 블로그에서 현대 수학을 계속 이야기한다」 — 21 세기의 새로운 학문 전달의 스타일. 이전 글 [오일러 · 가우스] 의 오일러 [독일 왕녀에게의 편지] 의 현대판.

AI 와 수학 (2023-2026) — 타오의 새로운 방향

2023 년 이후, 타오는 Lean 언어에 의한 형식 정리 증명 과 LLM (Claude, ChatGPT, GitHub Copilot) 을 조합한 수학 연구의 프론티어 에 적극적으로 참가하고 있다:

• 2023 년 — PFR 예상 (Polynomial Freiman-Ruzsa) 의 증명을 Lean 으로 형식화하는 프로젝트 를 주도
• 2024 년 — 다수의 수학자와 협력해 「AI 에 의한 증명 지원」 의 워크플로를 시행
• 2025-2026 년 — 수학 연구에서의 인간과 AI 의 협력 모델의 제창자

타오는:

「AI 는 수학자를 대체하지 않는다, 그러나 수학자의 일하는 방식을 근본에서 바꾼다」

라고 말하고, 이후의 수학 커뮤니티의 방향성에 큰 영향을 주고 있다. 이전 글 [튜링 · 와일즈] 의 튜링 테스트 의 예측이, 21 세기의 수학 연구의 현장 에서 현실이 되고 있다.

밀레니엄 7 문제의 현재 (2026 년)

클레이 수학 연구소의 밀레니엄 7 문제 (2000 년 설정, 상금 각 100 만 달러):

문제	현상	관련 이전 글
1. 리만 가설	미해결	오일러의 제타 함수
2. 푸앵카레 추측	2003 년 페렐만 해결 ✓	이 글
3. 양-밀스와 질량 갭	미해결	—
4. 나비에-스토크스 방정식	미해결, 타오가 부분 결과	이 글
5. 호지 예상	미해결	—
6. 버치 · 스위너턴 다이어 예상	미해결	—
7. P 대 NP 문제	미해결	—

26 년으로 1 문제 해결 — 수학의 「프론티어」 가, 현대에도 존재한다는 증거. 「수학은 끝난 학문」 이 아니다. 21 세기에도 여전히, 발견의 여지가 펼쳐져 있다.

21 세기의 수학의 특징

이전 글까지의 수학사를 돌이켜, 21 세기의 수학의 특징:

• 초전문화 — 하나의 분야를 극하기에 20 년 이상 걸린다
• 국제 협력 — arXiv, 온라인 사독, 세계 회의
• AI 와의 협력 — Lean, LLM, 자동 증명
• 계산기와의 융합 — 4 색 문제 (1976), 케플러 예상 (1998), PFR 예상 (2023)
• 「언어의 우주」 — 모치즈키 이론 같은, 하나의 커뮤니티 내에서도 공유 곤란한 이론
• 무명의 천재 — 페렐만 같은, 미디어에서 완전히 물러나는 선택
• 다양성 — 여성, 아시아계, 비서양 출신의 수학자의 증가

2500 년의 수학사 — 총괄

수학의 계보 시리즈 는, 기원전 6 세기의 피타고라스 부터, 2026 년의 타오 까지, 2500 년의 수학사 를 따라갔다:

• BC 6-3 세기 [고대 그리스] — 피타고라스 · 유클리드 · 아르키메데스, 논증으로서의 수학의 확립
• 3-16 세기 [중세 ~ 근세 전기] — 디오판토스 · 아라비아 수학 · 피보나치 · 세키 다카카즈, 비유럽 수학
• 17 세기 [과학 혁명 전반] — 데카르트 · 페르마, 좌표 기하와 358 년의 숙제
• 17 세기 후반 [미적분] — 뉴턴 · 라이프니츠, 30 년의 우선권 논쟁
• 18-19 세기 [거인들] — 오일러 · 가우스, 전 수학의 절반과 수학의 왕
• 19 세기 전반 [엄밀화] — 코시 · 아벨 · 야코비, ε-δ 논법과 타원 함수
• 19 세기 [비극의 천재] — 갈루아 · 라마누잔, 20 세 결투사와 독학의 신비
• 20 세기 초 [기초론] — 힐베르트 · 푸앵카레 · 괴델, 23 문제와 불완전성 정리
• 19-20 세기 [여성들] — 제르맹 · 뇌터, 제도의 벽을 넘는다
• 20 세기 [고독한 작업] — 튜링 · 와일즈, 컴퓨터 과학과 페르마 최후 정리
• 21 세기 [현대] — 페렐만 · 모치즈키 · 타오, 100 만 달러 사퇴 · 우주제 이론 · AI 와 수학

「수를 센다」 는 것에서 시작하여, 「무한」 「연속」 「구조」 「증명」 이라는 개념을 발명함으로써, 인류는 세계를 새로운 방법으로 파악해 왔다. 피타고라스에서 타오까지, 수학자들은 추상적인 세계의 탐험가 로 있어 왔다.

「사람과 발견」 의 드라마 — 12 개 명장면

이 시리즈에서 따라간 12 개 명장면:

1. BC 6 세기 — 피타고라스 교단과 √2 가 무리수의 발견
2. BC 3 세기 — 유클리드 [원론] 의 공리화
3. 1637 년 — 페르마가 여백에 「증명이 너무 좁다」
4. 1665-66 년 — 뉴턴의 「기적의 해」
5. 1801 년 — 24 세 가우스 [정수론 연구] 출판
6. 1832 년 — 20 세 갈루아의 결투 전날 밤의 밤새워 유서
7. 1913 년 — 라마누잔의 편지가 하디에게 도착
8. 1931 년 — 25 세 괴델의 불완전성 정리
9. 1994 년 — 와일즈에 의한 페르마 최후 정리의 증명
10. 2003 년 — 페렐만이 arXiv 에 3 편의 프리프린트 투고, 푸앵카레 추측 해결
11. 2012 년 — 모치즈키 신이치의 IUTT · ABC 예상 논문 발표
12. 2023 년 ~ — 타오가 Lean 과 LLM 으로 수학의 미래를 개척한다

수학은 「끝나지 않았다」

21 세기에도 여전히, 발견의 여지가 펼쳐져 있다. 밀레니엄 6 문제가 미해결, IUTT 의 국제적 합의도 미달, AI 와의 협력도 시작한 지 얼마 되지 않았다.

「수학의 전체상을 혼자서 조망할 수 있었던 마지막 수학자」 로서의 푸앵카레 (1854-1912) 이후, 수학은 전문화와 확산 의 길을 걸어왔다. 그러나 21 세기의 타오 같은 예외, AI 와 협력하는 새로운 형태 가, 다시 수학 전체를 조망하는 시점 을 가능하게 하고 있다.

2500 년 전의 피타고라스 부터, 2026 년의 현대 수학자 까지 — 「무한히 발견이 계속되는」 학문 으로서의 수학은, 앞으로도 조용히 이어져 간다.

math-history 시리즈 완결

이 시리즈는 overview + 11 개 글 = 12 콘텐츠 로, 2500 년의 수학사 를 따라갔다.

독자에게:

• 입문서 — 다카기 데이지 [근세 수학사담], E.T. 벨 [수학을 만든 사람들]
• 영화 — [뷰티풀 마인드] [이미테이션 게임] [기적의 수식]
• 사이먼 싱 — [페르마의 최후 정리] [암호 해독] [빅뱅 우주론]
• 타오의 블로그 — terrytao.wordpress.com (세계 최고봉의 수학자의 직접 발신)
• 온라인 강좌 — MIT OpenCourseWare, Coursera, 수학계 YouTube

「하나의 정리를 1 주간 걸려 이해한다」 — 수학의 가장 사치스러운 즐기는 법. 피타고라스에서 타오까지, 모든 수학자가 경험한 조용한 기쁨.

2500 년 전의 정리도, 현대의 미해결 문제도, 같은 「사람과 발견의 드라마」 로서, 우리의 눈앞에 열려 있다.

math-history 시리즈 완결. 수와 논리의 2500 년의 조용한 서사시를, 여기에서 마친다.