수학의 계보 — 고대 그리스에서 현대의 미해결 문제까지

수학사란 무엇인가

수학사 는 「정리의 역사」 로 읽을 수도 있고, 「인물의 역사」 로도 읽을 수 있다. 본 시리즈는 후자 — 「사람과 발견」 의 역사 — 로서, 2500 년 이상의 수학의 영위를 따라간다.

수학은 얼핏 순수 추상의 세계에 갇힌 영위처럼 보인다. 그러나 실제로는, 수학자들 또한 역사적 · 사회적 · 종교적 문맥 속에서 살고, 가족 관계와 우정, 질투와 명예, 빈곤과 전쟁에 휘둘려 왔다. 고대 그리스의 철학적 탐구, 중세 이슬람의 지식 보존, 르네상스의 재발견, 근대의 체계화, 현대의 전문 분화 — 그 각 단계에, 각각 「살아 있는 수학자」 가 있었다.

2500 년의 계보 — 6 개 단계

제 1 기: 고대 그리스 (BC 6 - AD 3 세기)

수학이 「철학의 한 분야」 로 취급된 시대. 피타고라스 (BC 570 경 - 495 경) 의 세 제곱의 정리와 교단, 유클리드 (BC 3 세기) 「원론」 13 권에 의한 공리 · 정의 · 정리 의 형식 확립, 아르키메데스 (BC 287 경 - 212) 의 응용과 이론의 통합. 논증 기하학의 탄생.

제 2 기: 중세 · 르네상스 (3-16 세기)

디오판토스 의 「산술」 (3 세기) 이 대수의 맹아. 이슬람 세계 가 그리스 수학을 보존 · 발전시키고 (알콰리즈미 — 「알고리즘」 의 어원), 피보나치 (1170 경 - 1250 경) 를 통해 서구에 역수입. 일본에서는 독립적으로 세키 다카카즈 (1640 경 - 1708) 가 와산 을 확립, 행렬식 · 베르누이 수 를 유럽보다 앞서 발견.

제 3 기: 과학 혁명 (17 세기)

데카르트 (1596-1650) 가 좌표 기하 로 대수와 기하를 통합. 페르마 (1607-1665) 가 정수론 을 개척하고, 「최후 정리」 를 350 년의 숙제로 남겼다. 뉴턴 (1643-1727) 과 라이프니츠 (1646-1716) 가 독립적으로 미적분 을 발명, 나중에 우선권 논쟁 으로 발전한다.

제 4 기: 해석학의 황금기 (18 세기)

오일러 (1707-1783) — 혼자서 수학 전 분야에 공헌. e^(iπ) + 1 = 0 로 5 개의 기본 상수를 잇는다. 라그랑주 · 라플라스 (프랑스) 가 해석 역학 · 확률론 을 체계화. 「수학은 자연의 언어」 라는 현대의 관점이 정착.

제 5 기: 수학의 체계화와 엄밀화 (19 세기)

가우스 (1777-1855) — 「수학의 왕」. 수론 · 정규 분포 · 전자기학 모두에 공헌. 코시 (1789-1857) 가 해석학에 ε-δ 논법 으로 엄밀성을 부여. 갈루아 (1811-1832) 가 군론 을 개척, 20 세에 결투사. 라마누잔 (1887-1920) 의 신비적인 직관. 에미 뇌터 에 의한 추상 대수의 완성.

제 6 기: 기초론에서 현대로 (20-21 세기)

힐베르트 (1862-1943) 의 23 문제와 「증명의 완전성」 프로그램. 괴델 (1906-1978) 의 불완전성 정리 (1931) 가 그것을 깨부순다. 튜링 (1912-1954) 이 계산 가능성 이론과 튜링 기계 를 발명, 컴퓨터 과학의 아버지로. 와일즈 (1953-) 가 1994 년, 페르마 최후 정리 를 증명. 페렐만 (1966-) 이 2003 년, 푸앵카레 추측 을 해결 (필즈상 사퇴). 모치즈키 신이치 (1969-) 의 IUT 이론과 ABC 추측 — 현대 일본발의 논쟁.

「사람과 발견」 의 10 개 명장면

수학사에 있어 인상적인 10 개 장면:

1. BC 6 세기 — 피타고라스 교단의 「만물은 수」, √2 가 무리수라고 판명된 충격
2. BC 3 세기 — 유클리드 「원론」 이 기하를 공리화, 2000 년간의 교과서가 되다
3. 9 세기 — 알콰리즈미 「알자브르」 가 대수 (algebra) 의 어원으로
4. 1637 년 — 페르마가 「여백이 너무 좁다」 라고 써서 남기다
5. 1665-6 년 — 「기적의 해」 뉴턴, 흑사병으로 케임브리지 휴교 중에 미적분 · 광학 · 만유인력을 동시 발견
6. 1832 년 — 결투 전야, 갈루아가 군론의 모든 아이디어 를 하룻밤에 써서 남기다
7. 1913 년 — 라마누잔의 편지가 하디에게 도착, 독학자의 경이
8. 1931 년 — 괴델, 25 세에 불완전성 정리 를 발표, 힐베르트의 꿈을 부수다
9. 1994 년 — 와일즈, 페르마 최후 정리 의 증명을 완성
10. 2003 년 — 페렐만, arXiv 에 푸앵카레 추측 의 증명을 게시, 필즈상과 100 만 달러의 상금을 사퇴

이 시리즈에서 다룰 예정의 글

다음 글들을 시대 순으로 공개 예정:

• 고대 수학 — 바빌로니아 · 이집트 · 그리스 (피타고라스 · 유클리드 · 아르키메데스)
• 중세 ~ 근세 전기 — 인도 · 아라비아 수학, 피보나치, 세키 다카카즈와 와산
• 데카르트 · 페르마 — 좌표와 정수론의 17 세기
• 뉴턴 · 라이프니츠 — 미적분의 탄생
• 오일러 · 가우스 — 18-19 세기의 거인들
• 코시 · 아벨 — 해석학의 엄밀화
• 갈루아 · 라마누잔 — 군론과 천재의 비극
• 힐베르트 · 푸앵카레 · 괴델 — 20 세기 초의 기초론
• 수학에서의 여성 — 에미 뇌터 · 소피 제르맹
• 튜링 · 와일즈 — 계산 가능성과 페르마 최후 정리
• 현대 — 페렐만 · 모치즈키 신이치 · 테렌스 타오, 밀레니엄 문제 (최종 글)

수학자를 읽기 위한 주요 테마

우선권 논쟁 — 뉴턴 vs 라이프니츠, 미적분의 발명자는 누구인가. 사제 관계 — 플라톤 → 유클리드, 오일러 → 라그랑주. 수학과 종교 — 피타고라스 교단, 뉴턴의 신학. 수학과 정치 — 갈루아 (프랑스 7 월 혁명), 라플라스 (나폴레옹). 요절한 천재 — 갈루아 20 세, 아벨 26 세, 라마누잔 32 세. 독학자 — 라마누잔, 독립 수학자의 계보.

수학의 「전형적 커리어 패턴」

시대마다 수학자의 사회적 위치 는 변화했다:

• 고대 — 철학자 · 자연학자를 겸함 (피타고라스, 유클리드)
• 중세 — 상인 · 여행자 · 궁정 수학자 (피보나치, 세키 다카카즈)
• 근세 — 법률가 · 군인 · 궁정인의 부업 (페르마, 데카르트)
• 근대 — 대학 교수 · 아카데미 회원으로 제도화 (오일러, 가우스, 코시)
• 현대 — 연구 프로페셔널 (프린스턴, IHES, 교토대학 RIMS 등)

미해결 문제와 밀레니엄 문제

클레이 수학 연구소 가 2000 년에 발표한 7 개의 밀레니엄 문제 (상금 100 만 달러):

1. 리만 가설 — 소수 분포의 핵심. 미해결
2. P vs NP 문제 — 계산 복잡성 이론의 중심 문제. 미해결
3. 양-밀스 문제와 질량 갭 — 수리 물리. 미해결
4. 호지 추측 — 대수 기하. 미해결
5. 나비에-스토크스 방정식 — 유체 역학. 미해결
6. 버치-스위너턴 다이어 추측 — 타원 곡선과 수론. 미해결
7. 푸앵카레 추측 — 위상 기하. 2003 년 페렐만이 해결 (유일한 해결됨)

이들 미해결 문제는, 현대 수학의 프론티어 를 나타낸다. 수학은 「끝난 학문」 이 아니다 — 21 세기에도 여전히, 발견의 여지가 펼쳐져 있다.

수학사의 전체상

「수를 센다」 는 것에서 시작하여, 「무한」 「연속」 「구조」 「증명」 이라는 개념을 발명함으로써, 인류는 세계를 새로운 방법으로 파악해 왔다. 피타고라스에서 페렐만까지, 수학자들은 추상적인 세계의 탐험가로 있어 왔다.

이 시리즈에서는, 그 2500 년의 계보를 시대 순으로 따라간다. 정리의 내용보다도, 사람과 발견의 드라마 를 축으로. 수학이 어떻게 태어나고, 계승되고, 변용되고, 현대에 이르렀는지 — 그 「조용한 서사시」 를, 전 12 콘텐츠로 그린다.