집합론과 20 세기의 수학화 — 음악을 수학으로 분석한다

무조를 어떻게 분석하는가

쇤베르크(제 8 기사)가 조성을 버린 후, 이론가는 새로운 난문에 직면했다 —— 조성이 없는 음악을, 어떻게 분석하면 좋은가. 기능 화성(T/S/D)도 셴커 분석(Ursatz)도, 조성을 전제로 하고 있으므로 쓸 수 없다. 무조 음악에는 「으뜸음」도 「화음의 기능」도 없다.

회답은, 음악사상 가장 수학적인 이론이었다 —— 집합론(pitch-class set theory / musical set theory). 피타고라스(제 1 기사)가 음악을 「수」로 파악한 지 2500 년, 이론은 마침내 본격적으로 수학의 언어로 적힌다.

음을 수로 나타낸다 — 음류(pitch class)

집합론의 출발점은, 음을 0〜11 의 수로 나타내는 것:

• C=0, C♯=1, D=2, …, B=11(반음마다 0-11)
• 옥타브 차이는 동일시한다(어느 옥타브의 C 도 「0」) → 이것을 **음류(pitch class)**라 부른다
• 「이명동음(C♯ 과 D♭)」도 동일시(평균율이므로 등가, 제 5 기사)

이렇게 하면, 화음이나 음의 덩어리는 수의 집합이 된다. 예를 들어 C-E-G(다장조의 주화음)는 {0, 4, 7}, 반음 3 개의 덩어리는 {0, 1, 2}. 화음을 「음류 집합(pitch-class set)」으로서 다루는 것이 집합론의 핵심.

군론의 조작 — 이조와 반전

집합론은, 집합끼리의 관계를 군론적인 조작으로 파악한다:

• 이조(transposition, Tn) — 모든 음에 같은 수를 더한다(＝평행 이동 / 이조). {0,4,7} 에 +2 로 {2,6,9}
• 반전(inversion, TnI) — 음을 상하 반전한다(12 에서 뺀다)
• 이것들로 옮겨지는 집합을 「같은 집합류(set class)」로 본다

포르테 번호(Forte number) — 앨런 포르테 (Allen Forte)가 모든 음류 집합을 분류하고, 번호를 붙였다(예: 3-11 은 장·단 삼화음의 류). 「이 2 개의 화음은, 겉보기는 다르지만 같은 set class = 구조적으로 등가」 같은 분석이 가능해진다. 음악의 「형」을, 음명이나 조에서 떼어내, **순수한 구조(집합의 형)**로서 다룰 수 있다.

밀턴 배빗 — 철저한 수학화

밀턴 배빗 (Milton Babbitt, 1916-2011) — 수학자 출신의 작곡가·이론가. 12 음 기법을 토탈 세리얼리즘(음높이뿐 아니라, 리듬·강약·음색도 계열로 규정)으로 철저히 하고, 음악 이론에 **엄밀한 수학(군론·조합론)**을 들여왔다. 「음악 이론은 과학과 같은 엄밀함을 가져야 한다」는 입장을 상징한다.

무엇이 얻어졌는가 — 그리고 한계

집합론의 의의와 한계:

얻어진 것:

• 조성을 전제로 하지 않는 보편적인 분석 언어 —— 무조·12 음·실험 음악을 객관적으로 기술할 수 있다
• 음악의 구조를 「음명·조」에서 해방해, 추상적인 형으로서 다루는 시점
• 분석의 재현성·객관성(누가 해도 같은 집합류에 도달한다)

한계·비판:

• 청취와의 괴리 —— 「집합류가 같아」도, 귀에는 전혀 다르게 들리는 경우가 있다. 수리 vs 청각(제 1 기사의 세로줄)의 대립이, 여기서 재연한다
• 조성 음악에는 과잉 —— 기능 화성으로 설명할 수 있는 곡에 집합론을 쓸 필요는 적다
• 「분석을 위한 분석」에 빠지기 쉽다(곡의 매력의 설명이 되지 않는다, 는 비판)

집합론은 「음악 이론은 어디까지 수학이 될 수 있는가」의 하나의 극한을 보였다. 피타고라스 이래의 「수리」의 계보의 가장 첨예한 도달점이며, 동시에 「귀로 들리는 것과 이론의 괴리」라는 오래된 물음을 가장 날카롭게 들이대는 이론이기도 하다.

민족음악학 — 「서양 이론은 보편이 아니다」

20 세기의 또 하나의 중요한 움직임이 **민족음악학(ethnomusicology)**의 발전. 세계 곳곳의 음악을 실지 조사·녹음하여, 연구하는 학문. 이것이 가져온 인식은 이론사에 결정적이었다:

서양의 음악 이론(기능 화성·평균율·오선보)은, 보편적인 진리가 아니라, 하나의 로컬한 문화적 체계에 지나지 않는다.

인도의 라가, 아랍의 마캄, 인도네시아의 가믈란은, 각각 독자적인 정교한 이론 체계를 갖는다(제 10 기사에서 상술). 「음악 이론 = 서양 화성」이라는 무자각한 전제가, 상대화되었다. 집합론이 「서양 이론을 극한까지 추상화」하는 한편, 민족음악학은 「서양 이론을 한 예로 격하」했다 —— 20 세기 이론의 두 대조적인 벡터.

이 기사에서 다음 기사로

집합론으로 서양 이론의 수학화가 극에 달하고, 민족음악학이 서양 이론을 상대화했다. 다음 기사에서는, 그 상대화의 앞을 본다 —— 비서양의 음악 이론. 인도의 라가, 아랍의 마캄, 중국의 12 율, 일본의 율려, 인도네시아의 가믈란. 서양과는 전혀 다른 「소리의 질서」의 파악법에 다가간다.