고대 그리스의 수학 — 피타고라스 · 유클리드 · 아르키메데스

수학이 「논증」 이 된 순간

바빌로니아나 이집트에도 수의 기술은 있었다. 바빌로니아인은 피타고라스보다 1000 년 이상 전 에 3-4-5 등의 피타고라스 수 를 점토판에 다수 기록했고, 이집트인은 3-4-5 의 줄로 직각을 만들었다. 그러나 그것은 실용의 기술, 경험칙의 집적이었다.

고대 그리스에서 일어난 혁명은, 이를 「증명되어야 할 보편 법칙」 으로 바꾼 것. 「임의의 직각 삼각형에 대해, 왜 이 관계가 반드시 성립하는가」 를 묻고, 논증으로 답하는 것을 발명한 것 — 이것이 피타고라스에서 아르키메데스에 이르는 300 년의 중심적 성과다.

피타고라스 — 만물은 수이다

피타고라스 (Πυθαγόρας, BC 570 경 - 495 경) 는 사모스 섬 출신의 수학자 · 철학자 · 종교 지도자. 젊은 시절에는 이집트 · 바빌로니아 유학의 전승도 있다. BC 530 년경, 고향 사모스의 참주 폴리크라테스의 지배를 싫어해, 남이탈리아의 크로톤 으로 이주하여, 「피타고라스 교단」 이라 불리는 종교적 · 학문적 공동체를 조직했다.

피타고라스 교단

• 이층 구조 — 내부의 마테마티코이 (교의를 배우는 자) 와, 외부의 아쿠스마티코이 (계율만 지키는 자)
• 계율 — 침묵의 수련, 채식, 콩을 먹지 않는다 (이유 불명, 유명한 수수께끼), 백의
• 재산은 공유
• 여성도 입회가 인정되었다 — 아내 테아노, 딸 다모 등 여성 수학자가 여럿 있었다
• 정치 활동 — 귀족파 · 보수파의 지지 기반, 나중에 민중파의 반발로 박해받는다

BC 500 년경, 크로톤에서 반 피타고라스파의 폭동 이 일어나, 교단은 박해받았다. 피타고라스 자신은 BC 495 년경, 메타폰티온에서 사망했다고 전해진다.

「만물은 수이다」

피타고라스파는, 세계의 근원이 「수 (아리트모스)」 라고 생각했다.

• 음악의 조화 는 현의 길이의 비로 표현된다 (1:2 에서 옥타브, 2:3 에서 완전 5 도, 3:4 에서 완전 4 도)
• 천체 운행 도 「천구의 음악」 으로서 수적 조화를 이룬다
• 도덕 · 정의 · 우정 도 수적 관계 (10 은 완전수, 4 는 정의)

이 발상은 신비주의적이지만, 후의 과학적 자연관 (수학적 법칙으로서의 자연) 의 먼 원류가 되었다.

피타고라스의 정리와 피타고라스의 공헌

a² + b² = c² — 직각 삼각형에서, 빗변의 제곱은 다른 두 변의 제곱의 합과 같다.

역사적으로는:

• 바빌로니아인이 천 년 이상 전부터 피타고라스 수 를 표로 만들었다
• 이집트인이 3-4-5 의 줄 로 직각을 만들었다
• 피타고라스파의 공헌은, 「임의의 직각 삼각형에 대한 일반적 증명」 을 준 것

유클리드 [원론] 제 1 권 명제 47 에 고전적인 기하학적 증명이 기록되어 있다. 오늘날에는 400 종류 이상 의 증명이 알려져 있다.

무리수의 발견 — √2 의 위기

피타고라스파의 제자 히파소스 (BC 5 세기) 가, 정사각형의 대각선과 한 변의 비가 유리수로는 표현될 수 없다 는 것을 발견했다:

만약 √2 = p/q (기약 분수) 로 쓸 수 있다면, 양변을 제곱해서 p² = 2q². 따라서 p² 는 짝수, p 도 짝수. p = 2k 로 놓으면 4k² = 2q², q² = 2k², q 도 짝수. p, q 모두 짝수 — 기약이라는 가정에 모순.

이는 「만물은 수 (유리수) 이다」 라는 교의를 흔든 위기였다. 전승에 따르면, 히파소스는 이 사실을 외부에 누설했기 때문에, 바다에 던져져 살해되었다 고 한다 (신빙성은 낮지만 상징적). 수학적 진리와 종교적 터부가 충돌한 최초의 사건.

유클리드 — 「기하학에 왕도 없다」

유클리드 (Εὐκλείδης, BC 325 경 - 265 경) 는 고대 그리스의 수학자. 프톨레마이오스 조 이집트의 알렉산드리아 에서 활동했고, 그 저작 [원론] (στοιχεῖα, Stoicheia, 라틴어 Elementa) 13 권 은, 2000 년 이상 에 걸쳐 기하학의 표준 교과서로 사용되었다.

생애의 확실한 기록은 적지만, 프톨레마이오스 1 세 (재위 BC 323-283) 의 부름으로 무세이온 (학술 기관) 에 모였을 가능성이 높다. 플라톤의 아카데메이아에서 배웠다는 전승도 있다.

전설의 일화

• 프톨레마이오스 1 세가 「더 간단한 기하학의 배우는 방법은 없는가」 라고 물었을 때, 유클리드는 「기하학에 왕도 없다」 라고 답했다
• 「배워도 돈이 되지 않는다」 라고 투덜대는 제자에게 「그에게 동전을 주어라, 학문에서 이익을 얻고 싶어 하기 때문에」 라고 알리고 추방했다

모두 후세 (프로클로스, 스토바이오스) 의 전승이며, 사실성은 확정되지 않는다. 그러나 「학문의 권위와 자립」 의 상징으로서 전해져 왔다.

[원론] 13 권 — 수학책의 최고봉

[원론] 은 전 13 권으로 구성되어 있다. 그 구성:

권	내용
제 1 권	평면 기하의 기초, 피타고라스의 정리 (명제 47)
제 2 권	기하 대수 (넓이와 대수의 대응)
제 3 권	원의 성질
제 4 권	원에 내접 · 외접하는 다각형
제 5 권	비례론 (에우독소스의 이론)
제 6 권	상사
제 7 권	정수론의 기초, 유클리드 호제법
제 8 권	연비례
제 9 권	소수의 무한성의 증명, 완전수
제 10 권	무리수의 분류
제 11 권	입체 기하의 기초
제 12 권	소진법, 원뿔 · 각뿔의 부피
제 13 권	5 개의 정다면체 (플라톤 입체)

공리적 방법의 확립

[원론] 제 1 권은, 우선 정의 (23) · 요청 (5) · 공통 개념 (5) 을 제시한다. 이것이 「공리계에서 정리를 연역한다」 는 스타일의 원형이 되었다.

5 개의 요청 (공준)

1. 임의의 점에서 임의의 점으로 직선을 그을 수 있다
2. 직선은 한없이 연장할 수 있다
3. 임의의 중심과 반경으로 원을 그릴 수 있다
4. 모든 직각은 서로 같다
5. 1 직선이 2 직선과 만날 때, 같은 쪽의 내각의 합이 2 직각보다 작으면, 그 2 직선은 한없이 연장하면 같은 쪽에서 만난다 (평행선 공준)

제 5 공준 은 다른 4 개와 비교해 복잡해서, 「도출할 수 있는 것은 아닌가」 라고 오래 의심받았다. 19 세기에 로바체프스키, 보야이, 가우스 등이 비유클리드 기하학 을 구축하여, 이것이 독립된 공준임이 밝혀졌다. 2000 년 후의 수학 혁명의 씨앗이, 여기에 묻혀 있었다.

소수의 무한성 — 배리법의 고전

[원론] 제 9 권 명제 20 의 증명은, 배리법의 고전적인 예로서 오늘도 가르쳐진다:

소수가 유한개 (p₁, p₂, …, pₙ) 라고 가정한다. N = p₁ × p₂ × … × pₙ + 1 을 생각한다. N 은 어떤 pᵢ 로도 나누어떨어지지 않는다 (나머지가 1 이므로). 따라서 N 은 새로운 소수를 포함하거나, N 자신이 소수. 어느 쪽이든 가정에 모순한다.

「무한의 존재」 를 유한적인 조작으로 증명한다 — 수학의 추상력의 훌륭한 연출.

아르키메데스 — 고대 최고의 수학자

아르키메데스 (Ἀρχιμήδης, BC 287 경 - 212) 는 시칠리아 섬 시라쿠사의 수학자 · 물리학자 · 천문학자 · 기술자. 고대에서의 최고 수학자 로 불리며, 뉴턴, 가우스와 함께 「사상 3 대 수학자」 로 꼽히기도 한다.

젊은 시절에 알렉산드리아 에서 배웠고, 에라토스테네스, 코논 등과 교유. 시라쿠사로 돌아와, 히에론 2 세 를 섬겼다.

주요 업적

저작	내용
[원의 계측]	원주율의 평가 (223/71 < π < 22/7)
[구와 원기둥에 대해서]	구의 표면적 · 부피, 구와 외접 원기둥의 비
[나선에 대해서]	아르키메데스의 나선, 구적
[포물선의 구적]	포물선의 넓이 (소진법)
[방법 (메소드)]	구적법의 발견 과정
[모래의 계산자]	거대한 수의 표기, 우주의 모래 알갱이 수
[부체에 대해서]	부력의 원리, 유체 정역학
[평면의 균형에 대해서]	지렛대의 원리, 무게 중심

원주율의 계산

정 96 각형을 원에 내접 · 외접시켜, 그 둘레 길이에서 원주율의 범위를 구했다:

• 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7
• 즉 약 3.1408 < π < 3.1429

이는 고대 세계에서의 최상의 평가이며, 천 년 이상 표준 으로 여겨졌다.

소진법 — 적분의 선구

에우독소스에서 시작되어, 아르키메데스가 발전시킨, 현대의 적분법에 가까운 수법:

구하는 곡선 도형에 내접 · 외접하는 다각형을 만들고, 변의 수를 늘려가면, 양자의 차이는 얼마든지 작아진다. 따라서 넓이는 양자의 극한값에 끼인다.

포물선의 넓이, 구의 부피, 나선의 넓이 등, 곡선에 둘러싸인 도형을 엄밀하게 구했다. 2000 년 후의 뉴턴 · 라이프니츠에 의한 미적분의 예고편.

「유레카」 와 「원을 어지럽히지 마라」

부력의 발견

히에론 왕이 금세공사에게 만들게 한 왕관에 은이 섞이지 않았는지, 왕관을 손상하지 않고 조사하는 의뢰를 받은 아르키메데스는, 목욕 중에 뜨거운 물이 넘치는 것을 보고 부력의 원리 에 도달했다. 알몸 그대로 「유레카! (찾았다)」 라고 외치며 거리를 달렸다 (비트루비우스 전).

진위에는 논의가 있지만, 상징으로서 전해지는 발견의 순간.

죽음의 장면

BC 214-212 년, 로마군에 의한 시라쿠사 포위. 아르키메데스는 투석기, 거대한 발톱, 태양광 집광경 등의 방위 무기로 분전했다. BC 212 년, 시라쿠사 함락.

시라쿠사 함락 시, 아르키메데스는 모래에 도형을 그려 연구에 몰두 하고 있었다. 로마 병사가 들이닥치자, 그는 「나의 원을 어지럽히지 마라 (Noli turbare circulos meos)」 라고 외쳤다고 한다. 사령관 마르켈루스는 그의 생명 보호를 명령했지만, 그것을 모르는 병사에게 살해되었다.

마르켈루스는 깊이 슬퍼하며, 묘에 「구와 그것에 외접하는 원기둥」 의 그림 을 새기게 했다. 이 묘는 약 130 년 후, 키케로가 시라쿠사 재무관 시절에 발견 하여, 로마 세계에 재인식되었다. 수학자의 묘를 찾아내는 정치가라는, 고대 지중해 세계의 한 장면.

아르키메데스 팔림프세스트

[방법] 은 고대에 소실되었다고 여겨졌지만, 1906 년에 이스탄불에서 아르키메데스 팔림프세스트 (기도서 밑에 쓰여 있던 사본) 이 발견되어, 복원되었다. 이 발견으로, 아르키메데스가 무한소의 개념 을 사용해 적분적 계산을 하고 있었음이 판명되었고, 그의 수학적 선진성이 재평가되었다.

이 글에서 다음 글로

고대 그리스에서 「논증으로서의 수학」 이 확립된 300 년을 따라갔다. 다음 글에서는, 아르키메데스 이후의 공백 — 중세 ~ 근세 전기의 수학. 3 세기의 디오판토스 에 의한 대수의 맹아, 9 세기의 알콰리즈미, 12 세기의 피보나치, 그리고 17 세기 일본의 독립 전개 — 세키 다카카즈와 와산 까지. 「유럽의 공백」 을 이슬람 세계와 동아시아가 메운 1500 년의 이야기로.