중세 ~ 근세 전기 — 디오판토스 · 아라비아 수학 · 피보나치 · 세키 다카카즈

「유럽의 공백」 을 메운 사람들

이전 글 [고대 그리스의 수학] 의 아르키메데스 이후, 유럽의 수학은 1500 년 가까운 정체 에 들어간다. 그러나 수학은 다른 장소에서 발전을 계속했다:

• 3 세기의 알렉산드리아 — 디오판토스의 대수
• 9 세기의 바그다드 — 이슬람 세계의 보존과 발전
• 12 세기의 이탈리아 — 피보나치에 의한 서구로의 재도입
• 17 세기의 일본 — 세키 다카카즈에 의한 독립 전개

본 글에서는, 이 1500 년의 「비유럽 수학사」 와, 그것이 근대로의 다리가 되는 과정을 따라간다.

디오판토스 — 「대수학의 아버지」

디오판토스 (Διόφαντος, AD 200 경 - 284 경) 는, 알렉산드리아에서 활동한 고대 그리스 최말기 의 수학자. 저서 [산술 (Ἀριθμητικά)] 13 권 (현존은 10 권) 은, 정수 해를 구하는 방정식론 의 고전이며, 「대수학의 아버지」 로 불린다.

생애의 정보는 거의 제로이지만, [그리스 시화집] 에 수록된 묘비명의 수수께끼 가 전해진다:

신은 그의 생애의 1/6 을 소년기로 주었고, 그다음의 1/12 로 청춘을 물들였고, 다시 1/7 로 결혼을 허락했다. 결혼 후 5 년에 아들을 얻었지만, 아버지의 절반의 나이로 아들은 세상을 떴고, 그 4 년 후에 아버지도 세상을 떴다.

방정식으로 하면 x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x, 해는 x = 84. 84 세에 죽은 것이 된다.

기호 대수의 맹아

디오판토스는, 고대 그리스 수학에서는 드물게, 기호 (약호) 를 쓴 대수 표기를 도입했다:

• ς — 미지수 (현대의 x)
• Δ^Υ — x 의 제곱
• Κ^Υ — x 의 세제곱
• ↑ — 마이너스 (음의 계수)
• M — 상수항

이는 「수사 대수 (말만으로 식을 쓴다)」 에서 「생략 대수 (약호를 쓴다)」 로의 중요한 한 걸음이며, 근대 대수의 기호화 (비에트, 데카르트) 의 먼 선구.

디오판토스 방정식

정수 (또는 유리수) 해만 구하는 다항식 방정식. x² + y² = z² (피타고라스 수), x³ + y³ = z³ (페르마 최후 정리 n=3) 등. 현대 정수론의 중심적 대상.

「산술」 과 페르마의 낙서

[산술] 은 1621 년, 바셰 드 메지리악의 그리스어 · 라틴어 대역판 으로 유럽에 퍼진다. 페르마가 읽은 것은 이 판. 「정사각형을 두 개의 정사각형의 합으로 나누어라」 (제 2 권 제 8 문) 라는 문제야말로, 후에 페르마 최후 정리 의 발단이 되는 여백의 낙서 의 장소다.

1000 년 이상 전의 책의 여백에서, 현대 수학의 중심적 문제가 태어났다.

아라비아 수학 — 바그다드의 「지혜의 집」

8-9 세기, 압바스 조 칼리프의 바그다드의 「지혜의 집 (바이트 알히크마)」 에서, 그리스 · 인도 · 페르시아의 수학이 종합되었다. 중심 인물은 알콰리즈미 (780 경 - 850 경).

이름이 말이 된 2 개의 용어

• 알고리즘 (algorithm) — 알콰리즈미의 이름의 라틴어화 에서
• 대수 (algebra) — 그의 저서 [알자브르 (al-Jabr)] ([Kitab al-Jabr wa al-Muqabala], 830 년경) 의 책 이름 에서

「algorithm」 과 「algebra」 라는 현대 수학 · 계산 과학의 중심 용어가, 한 명의 9 세기 아랍 수학자의 이름과 저서에서 파생되고 있다. 이만큼 깊이 수학에 새겨진 인명은 없다.

아라비아 수학의 공헌

• 인도 숫자와 제로 의 수용과 전달 (인도에서 아라비아로, 아라비아에서 서구로)
• 이차 방정식의 일반 해법
• 삼각법 의 발전 (알투시, 알카시)
• 대수 기호화 의 선구

주요 수학자:

• 알콰리즈미 (9 세기) — 대수 · 알고리즘의 조상
• 알카라지 (11 세기) — 다항식 대수
• 오마르 하이얌 (11-12 세기) — 삼차 방정식의 기하 해법, 「루바이야트」 의 시인
• 알투시 (13 세기) — 삼각법

피보나치 — 「산반의 서」 와 제로의 서구 전래

레오나르도 피사노, 통칭 피보나치 (Fibonacci, 1170 경 - 1250 경) 는, 이탈리아 · 피사 출신의 수학자. 저서 [산반의 서 (Liber Abaci)] (1202) 을 통해, 인도 · 아라비아 숫자와 십진 자리 잡기 기수법을 서구에 결정적으로 보급 시켰다.

경력

• 1170 년경, 피사에서 태어남. 아버지 굴리에모는 피사의 상인 · 세관 관리
• 소년기는 아버지의 임지 부지 (현 알제리 베자이아) 에서 이슬람 문화권의 수학 을 배움
• 지중해 각지 (이집트, 시리아, 그리스, 시칠리아, 프로방스) 를 여행하여 수학을 흡수
• 1202 년, 32 세경, [산반의 서] 완성
• 1220 년대, 신성 로마 황제 프리드리히 2 세의 궁정 에서 명성을 얻음
• 1240 년, 피사 시가 업적에 대해 연금 (20 리라) 을 지급 하는 공문서

「Fibonacci」 는 19 세기의 수학사가 기욤 리브리가 명명한 약칭. 본인은 「Leonardo Pisano (피사의 레오나르도)」 「Leonardo Bigollo (여행자 레오나르도)」 등으로 자칭했다. 「Filius Bonacci (보나치의 아들)」 이 줄어 Fibonacci.

「산반의 서」 의 서두

「아라비아인이 figure 라고 부르는 9 개의 숫자는 다음과 같다: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. 이에 『zephirum (제피룸 = 제로, 아라비아어 sifr)』 을 더하면, 어떤 수라도 쓸 수 있다는 것을 안다.」

이것이 인도 · 아라비아 숫자 (특히 제로) 의 서구로의 본격적 소개. 로마 숫자로의 「MMXXIII × CXLVII」 같은 곱셈은 사실상 불가능하지만, 인도 · 아라비아 숫자라면 필산으로 쉽게 할 수 있다. 피보나치의 저작은 상인 · 장인에게의 계산 혁명 이었다.

다만 로마 숫자를 완전히 놓는 데는 수백 년이 걸렸고, 피렌체의 환전상 조합은 1299 년에 「아라비아 숫자 사용 금지령」 을 냈다 (위조의 용이함을 경계).

토끼 문제와 피보나치 수열

[산반의 서] 제 12 장의 한 문제:

「한 쌍의 토끼가 매달 새로운 한 쌍을 낳는다고 하자. 태어난 한 쌍도 2 개월째부터 매달 한 쌍을 낳는다. 1 년 후에는 몇 쌍이 되어 있는가?」

수열: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 (점화식 a(n+2) = a(n+1) + a(n))

인접 두 항의 비는 황금비 φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618 로 수렴. 자연계의 식물의 잎차례, 솔방울, 해바라기의 씨앗 배열 등에 빈출.

같은 수열은 인도의 핑갈라 (BC 2 세기), 비라한카 (6 세기), 헤마찬드라 (12 세기) 등에 의해 운율 이론 에서 이미 연구되어 있었다. 「피보나치 수열」 은 서구 중심적인 호칭.

세키 다카카즈 — 쇄국 일본의 「산성」

세키 다카카즈 (関孝和, 1640 경 - 1708) 는, 에도 시대 전기의 일본 수학자. 독자적으로 발전한 와산 (和算) 을 세계 수준까지 밀어 올린 인물. 「산성 (算聖)」 이라고 존칭된다.

쇄국 하의 독립 전개

세키가 살았던 시대는 쇄국 체제 하. 서양 수학 (데카르트 · 페르마 · 뉴턴 · 라이프니츠의 일) 은 전래되지 않았다. 그는 중국 수학 (「산학계몽」 「양휘산법」 등 송원 수학) 을 출발점으로 하면서, 그것을 크게 넘어서는 독자적인 수학을 전개했다.

세계에 유례가 적은 「독립 발명」 의 사례. 유럽의 뉴턴 · 라이프니츠의 발견과, 완전히 단절된 환경에서, 같은 수준의 수학이 태어났다.

주요 업적과 유럽과의 병행

업적	세키의 해	유럽
행렬식의 발견	1683 (해복제지법)	라이프니츠 1693 (로피탈 앞 서한)
베르누이 수	괄요산법	야코브 베르누이 1713 (추측술)
원주율의 계산 (소수 제 11 위까지, 정 131072 각형)		유럽의 동정밀 계산과 병행
뉴턴법 유사의 반복 근사		뉴턴 1669 경

세키는 10 년 ~ 30 년, 서양보다 이르게 혹은 병행하여 발견한 것이 된다.

점찬술 (텐잔주츠) — 방서법

세키가 체계화한 미지수를 문자로 표시하는 기호 대수. 중국의 천원술 (일원만 다룰 수 있음) 을 다변수로 확장:

• 천원 — 첫 번째 미지수 (갑)
• 인원 — 두 번째 미지수 (을)
• 지원 — 세 번째 미지수 (병)
• 물원 — 네 번째 미지수 (정)

이로써, 와산은 본격적인 다변수 대수 를 다룰 수 있게 되었다.

주요 저작

• [발미산법] (1674) — 사와구치 카즈유키 [고금산법기] 의 유제에 대한 해답집. 점찬술을 선보임
• [해복제지법] — 행렬식의 발견
• [괄요산법] (사후 1712) — 제자 아라키 무라이데 등에 의한 유고 집대성. 원주율 · 베르누이 수
• [대성산경] — 세키 · 다케베 가타히로 · 다케베 가타아키에 의한 집대성

와산의 독자 문화 — 유제와 산액

유제 (이다이) 의 문화

에도 시대의 와산에는 「유제」 의 독자 문화가 있었다. 산법서의 마지막에 미해결 문제를 제시 하고, 후의 수학자에게 도전시킨다. 세키의 [발미산법] 도 사와구치 카즈유키의 유제 15 문에 대한 회답집이었다. 문제 구동형의 학문 전승 시스템.

산액 (산가쿠)

와산가 · 애호가는, 풀린 문제를 에마 같은 액에 써서 신사 · 절에 봉납 했다. 이를 산액 이라고 부른다.

• 서민 · 무사 · 조닌이 널리 참가
• 에도 시대를 통해 전국의 신사에 수천의 산액 이 봉납되었다
• 현대에도 수백 장이 현존
• 세계에 유례없는 「수학의 민중 참가 문화」

「수학은 신사에 봉납하는 것」 이라는 일본 독자의 발상. 서양의 아카데미 중심주의와는 대조적.

다케베 가타히로 — 세키의 제자와 원리의 발전

다케베 가타히로 (建部賢弘, 1664-1739) 는 세키 다카카즈의 고제자. 원리 (원주율 · 원적 · 호장의 연구) 를 발전시키고, 무한 급수 전개 를 독립적으로 얻었다. 뉴턴 · 라이프니츠 · 그레고리 등과 병행하는 업적.

다케베를 통해, 세키의 업적은 와산의 관류 (関流) 로서 계승된다. 메이지 유신까지, 일본 수학계의 주류를 이루었다.

메이지 유신과 와산의 종언

메이지 유신 (1868) 후, 서양 수학의 도입 과 함께 와산은 쇠퇴한다. 메이지 5 년 (1872) 의 「학제」 로, 학교 수학은 서양식으로 통일. 와산가의 다수는 전업하고, 일부는 서양 수학의 교사가 된다.

그러나 와산의 유산은 잊혀지지 않고:

• 후지와라 마쓰사부로, 히라야마 아키라, 사토 켄이치, 우에노 켄지, 다카세 마사히토 등의 연구로 와산의 세계 수준성이 확립
• 2008 년, [세키 다카카즈 전집] (이와나미 서점) 간행
• 산액의 문화재적 보호

「독립적으로 발명된 세계 수준의 수학」 으로서, 현대의 수학사 속에 재정위되고 있다.

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아르키메데스 이후의 1500 년 — 디오판토스, 아라비아 수학, 피보나치, 세키 다카카즈 — 를 따라갔다. 다음 글에서는, 17 세기의 과학 혁명 에 들어간다. 데카르트 (1596-1650) 가 좌표 기하 로 대수와 기하를 통합하고, 페르마 (1607-1665) 가 [산술] 의 여백에 기호를 써서 남긴다 — 수학이 단숨에 근대화하는 「과학 혁명」 의 전반부로.