데카르트 · 페르마 — 17 세기 과학 혁명 전반

17 세기의 과학 혁명 — 전반

이전 글 [중세 ~ 근세 전기] 의 피보나치 · 세키 다카카즈 이후, 유럽의 수학은 단숨에 근대화 한다. 그 전반 (1600 년대 전반 - 중반) 의 주역이 데카르트 (1596-1650) 와 페르마 (1607-1665) — 한쪽은 철학자 · 수학자, 다른 한쪽은 재판관인 「아마추어」 수학자.

두 사람의 공통 업적이 좌표 기하 의 독립 발견. 개별 업적은 페르마의 정수론 · 확률론 · 광학, 데카르트의 기호 대수와 곡선 분류. 그리고 페르마가 남긴 한 줄의 여백 낙서가, 358 년간 수학자를 괴롭히고, 와일즈가 1995 년에 증명할 때까지 수학사 최대의 드라마 가 된다.

르네 데카르트 — 「나는 생각한다, 고로 존재한다」 의 수학자

르네 데카르트 (René Descartes, 1596-1650) 는 프랑스의 철학자 · 수학자 · 과학자. 「나는 생각한다, 고로 존재한다 (Cogito, ergo sum)」 로 알려진 근대 철학의 조상 이지만, 수학사에서도 좌표 기하학 (해석 기하학) 의 창시자 로서 결정적인 역할을 해냈다.

생애의 요점

• 1596 년 — 프랑스 · 투렌 지방 라 에이 (현 데카르트 시) 에서 탄생. 아버지 조아쉬앙은 법률가 · 귀족
• 1606-1614 — 라 플레슈의 예수회 학원 에서 배움
• 1616 — 푸아티에 대학에서 법학을 마침
• 1618 — 네덜란드에서 군인 나사우 공 마우리츠에 종군. 수학자 이자크 베크만과 만나, 수학 · 물리에 개안
• 1619 년 11 월 10 일 — 독일 · 노이부르크에서 「경이의 꿈」 을 꾸고, 새로운 학문의 구상을 얻음
• 1628-1649 — 네덜란드로 이주, 20 년 이상 체재 하며 주요 저작을 집필
• 1637 — [방법서설] 과 부록 [굴절 광학][기상학][기하학] 을 출판
• 1649 — 스웨덴 여왕 크리스티나의 초빙으로 스톡홀름으로
• 1650 년 2 월 11 일 — 스톡홀름에서 폐렴으로 사망, 53 세

스웨덴 여왕과 이른 아침의 강의

크리스티나 여왕은 데카르트에게 매일 이른 아침 5 시부터 철학 강의를 요구 했다. 한랭지에서의 새벽 통근과 익숙하지 않은 생활이 겹쳐서 폐렴을 발병, 불과 수 개월 만에 목숨을 잃었다. 「여왕 때문에 데카르트는 죽었다」 라고 당시부터 말해졌다. 여왕에게의 학술 초빙이 죽음에 이른다는, 17 세기 유럽의 한 장면.

[기하학] — 좌표 기하의 탄생

[방법서설] 의 부록으로 출판된 전 3 권의 수학 논문 [기하학 (La Géométrie)] (1637) 이, 데카르트의 수학적 주저:

• 제 1 권 — 직선만을 사용해 풀 수 있는 문제
• 제 2 권 — 곡선의 성질, 곡선의 분류
• 제 3 권 — 고차 방정식의 해법

좌표 기하 — 기하학의 대수화

데카르트의 최대의 수학적 혁신은, 기하학의 문제를 대수 방정식으로 번역하는 것이었다:

• 평면 위에 두 개의 직교 축 을 취한다 (후에 「데카르트 좌표」 라 불림)
• 임의의 점을 (x, y) 로 표시
• 도형 (직선, 원, 원뿔 곡선) 을 방정식 f(x, y) = 0 으로 표현

이로써, 고대 이래의 「3 개의 고전 문제」 (입방체 배적 · 각의 삼등분 · 원적 문제) 같은 기하학 난문도, 대수 조작으로 해석 가능해졌다. 도형과 방정식이, 같은 언어로 이야기할 수 있게 되었다.

기호 대수의 정비

데카르트는 현대의 대수 기법 의 정비에 크게 공헌:

• 미지수 — 알파벳 말미를 미지수로 (x, y, z)
• 기지수 — 알파벳 서두를 상수로 (a, b, c)
• 지수 — 위첨자 숫자 (x², x³)

이 기법은 현대까지 거의 그대로 사용되고 있다. 「x 를 미지수로 쓴다」 는 관습의 기원.

데카르트의 부호 규칙

다항식의 양의 실근의 개수는, 계수 열의 부호 변화의 횟수 이하라는 정리 ([기하학] 제 3 권). 예: x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 의 계수 부호는 +, -, +, - 로 3 회 변화, 양의 근은 최대 3 개 (실제는 1, 2, 3).

현대의 수치 계산에서도 유용한, 기본 도구의 하나.

피에르 드 페르마 — 「아마추어 수학자의 왕」

피에르 드 페르마 (Pierre de Fermat, 1607-1665) 는 프랑스의 법률가 · 수학자. 본업은 툴루즈 고등 법원 고문 (지방 재판관) 이며, 수학은 완전한 아마추어 (여기) 로서 했지만, 그 업적은 직업 수학자를 압도 한다.

생애의 요점

• 1607 년 8 월경 — 프랑스 남서부 보몽 드 로마뉴에서 탄생. 아버지 도미니크는 피혁상 · 영사
• 젊은 시절 — 툴루즈에서 법학 · 고전을 배움
• 1631 — 오를레앙 대학에서 법학사. 같은 해 결혼, 툴루즈 고등 법원에 근무 시작
• 1631 - 종생 — 툴루즈 고등 법원 고문. 후에 최고위의 형사부 재판관 으로 승진
• 1636 년 ~ — 파리의 메르센 서클 과 서한 교류 시작. 데카르트 · 파스칼 · 로베르발 · 토리첼리 등과 통신
• 1665 년 1 월 12 일 — 툴루즈 근교 카스트르에서 사망, 57 세

출판하지 않는 수학자

페르마는 대학에 자리를 두지 않고, 논문도 생전에 거의 출판하지 않았다. 그의 수학은 주로 편지와 애독서의 여백의 낙서 로서 남았다.

사후, 아들 클레망 사무엘이 아버지의 유고를 정리해, 1670 년에 디오판토스 [산술] 의 주해 부기판을 출판. 이로써 「페르마의 최후 정리」 를 포함한 48 개의 각서가 공표되었다.

좌표 기하의 독립 발견 — 우선권의 문제

데카르트와 동시기, 페르마도 독립적으로 좌표 기하의 착상에 도달해 있었다 (1636 년경의 수고 [평면 · 입체 궤적론에의 입문]). 양자의 방법의 차이:

	데카르트	페르마
출발점	도형 → 방정식	방정식 → 도형
강조점	도형의 대수화	궤적의 해석
출판	1637 년	사후 출판 (1679 년)

공표된 것은 데카르트 [기하학] 이 먼저기 때문에, 좌표 기하의 이름은 데카르트에게 귀속되어 있다. 수학사에서의 「동시 발견과 출판」 의 문제의 좋은 예.

페르마 원리 — 변분 원리의 선구

「빛은 두 점간을 이동할 때, 소요 시간이 최단이 되는 경로를 지난다」 라는 원리 (1662 년경). 이는 반사 · 굴절의 법칙을 통일적으로 설명한다.

후에, 해밀턴-야코비 이론, 변분 원리, 양자 역학의 경로 적분 으로 이어지는 근원적 아이디어. 「자연은 가장 효율적인 길을 선택한다」 라는 발상의 수학적 정식화.

미적분의 선구 — 30 년 이른 극대 · 극소법

뉴턴 · 라이프니츠보다 30 년 앞서, 페르마는 함수의 극대 · 극소를 구하는 방법을 고안했다 (1637 년경):

f(x) 와 f(x+e) 를 같다고 「거의 같음 (adequation)」 하고, e 로 나누어 e → 0 으로 한다.

이는 현대의 미분의 원형. 실제로, 뉴턴도 라이프니츠도, 페르마의 방법을 밟고 있다. 「미적분의 발명자」 논쟁의, 숨은 세 번째 후보.

확률론의 창시 — 파스칼과의 서한

1654 년, 귀족 드 메레가 제시한 「점수의 문제」 (도중에 중단된 도박의 판돈을 어떻게 나눌 것인가) 에 대해, 페르마와 파스칼 이 서한으로 논의하여, 현대적 확률론의 기초 를 다졌다:

• 페르마는 경우의 수 (조합론적 방법) 로 풀었다
• 파스칼은 기대값 (수학적 귀납법적 방법) 으로 풀었다

이것이 하위헌스 [우연성의 계산에 대해] (1657), 야코브 베르누이 [추측술] (1713), 라플라스 [확률의 해석적 이론] (1812) 로 발전. 「도박의 문제」 가, 보험 · 통계 · 현대 금융 공학의 출발점이 된다.

정수론의 업적

페르마는 17 세기의 정수론을 혼자서 재흥 시켰다. 주요 업적:

페르마의 소정리

p 가 소수이고 a 가 p 로 나누어떨어지지 않는다면, a^(p-1) ≡ 1 (mod p). 현대의 암호 이론 (RSA) 의 기초.

페르마 소수

F_n = 2^(2^n) + 1 의 형태의 소수. F_0=3, F_1=5, F_2=17, F_3=257, F_4=65537 까지는 소수. F_5 는 소수가 아니라고 오일러가 보였다 (1732). 페르마의 예상이 성급했던 몇 안 되는 예.

무한 강하법

「만약 해가 있다고 가정하면, 더 작은 해를 만들 수 있고, 무한히 강하할 수 있지만, 양의 정수는 무한히 강하할 수 없으므로 모순」 이라는 증명법. 페르마 자신의 발명으로, 현대 정수론의 기본 도구.

2 제곱의 정리

4k+1 형의 소수는 두 제곱수의 합으로 유일하게 표현할 수 있다. 페르마가 주장, 오일러가 증명.

페르마 최후 정리 — 358 년의 숙제

디오판토스 [산술] 바셰판 (1621) 의 제 2 권 제 8 문 「정사각형을 두 개의 정사각형의 합으로 나누어라」 의 여백에, 페르마는 다음의 낙서를 남겼다:

「입방수를 두 개의 입방수의 합으로 나누는 것, 사제곱수를 두 개의 사제곱수의 합으로 나누는 것, 일반적으로 제곱보다 큰 멱제곱수를 두 개의 같은 멱제곱수의 합으로 나누는 것은 불가능하다. 나는 이 명제의 진정으로 놀라운 증명을 발견했지만, 이 여백은 너무 좁아서 그것을 다 쓸 수 없다.」

즉, n ≥ 3 의 정수 n 에 대해, x^n + y^n = z^n 을 만족하는 양의 정수 x, y, z 는 존재하지 않는다, 라는 주장.

증명사 — 358 년의 계보

해	수학자	진전
1637 경	페르마 본인	여백에 주장
1670	사후 출판	공표
1770 경	오일러	n=3 의 케이스 증명
1825 경	디리클레, 르장드르	n=5
1839	라메	n=7
1847	쿠머	「정칙 소수」 에 대해 증명
1955	다니야마 유타카	다니야마 추측 (후의 모듈러 정리)
1957	시무라 고로	다니야마 · 시무라 추측으로 정치화
1986	프라이, 리벳	「최후 정리는 다니야마 · 시무라 추측에서 도출된다」 를 증명
1993-1995	앤드루 와일즈	다니야마 · 시무라 추측을 증명, 최후 정리를 해결

페르마 자신은 증명을 가지고 있었는가

거의 제로, 라고 현대의 수학사가는 결론짓고 있다. 페르마 자신이 n=4 의 케이스를 유고에 남기고 있지만, 일반의 n 에 통용되지 않는 방법 이며, 아마도 성급함이었다. 와일즈의 증명은 타원 곡선 · 모듈러 형식 · 갈루아 표현 을 구사하는 현대적인 것으로, 페르마가 알 수 있었을 리가 없다.

그러나 페르마의 한 줄의 낙서 가, 350 년간 세계의 수학자를 괴롭히고, 현대 정수론을 크게 발전시켰다 — 수학사 최대의 장난 이 되었다.

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17 세기 과학 혁명의 전반, 데카르트 · 페르마에 의한 좌표 기하 · 확률론 · 정수론 의 탄생을 따라갔다. 다음 글에서는, 그 후반 — 뉴턴 (1643-1727) 과 라이프니츠 (1646-1716) 에 의한 미적분의 발명 에 들어간다. 「기적의 해」 1665-66 의 뉴턴, 독립적으로 미적분을 발견한 라이프니츠, 그리고 수학사 최대의 우선권 논쟁 — 수학의 언어가 현대형으로 완성되는 30 년을 따라간다.