오일러와 가우스 — 18-19 세기의 두 거인

18-19 세기의 두 정점

이전 글 [뉴턴 · 라이프니츠] 에서 본 미적분의 발명을 토대로, 18 세기부터 19 세기 전반에 걸쳐, 수학은 두 명의 거인 에 의해 단숨에 체계화된다:

• 레온하르트 오일러 (1707-1783) — 스위스 태생, 사상 최다산 의 수학자. 「혼자서 전 수학의 절반을 썼다」
• 카를 프리드리히 가우스 (1777-1855) — 독일 태생, 「수학의 왕」 . 아르키메데스 · 뉴턴과 나란히 사상 3 대 수학자

오일러가 쓰고 또 썼다 는 거인이라면, 가우스는 쓰기를 아꼈다 는 거인. 발표와 미발표의 대비가, 두 사람의 대조적인 인격을 보여준다.

레온하르트 오일러 — 「18 세기의 뉴턴」

레온하르트 오일러 (Leonhard Euler, 1707-1783) 는 스위스 · 바젤 태생의 수학자 · 물리학자 · 천문학자 · 기사. 사상 가장 다산한 수학자 이며, 그의 이름을 붙인 정리 · 공식 · 개념은 수십에 이른다. 「전 수학의 기반」 「18 세기의 뉴턴」 이라고도 불린다.

생애의 요점

• 1707 년 4 월 15 일 — 바젤 (스위스) 에서 탄생. 아버지 파울 오일러는 프로테스탄트 목사
• 1720 — 13 세에 바젤 대학 입학, 신학 · 철학 · 수학을 배움. 요한 베르누이 (라이프니츠의 제자) 에게 사사
• 1726 — 19 세에 박사호 (음향학)
• 1727 — 20 세에 상트페테르부르크 · 아카데미 (러시아) 에 초빙됨
• 1735 — 오른쪽 눈 시력을 잃음 (지도 작성 업무의 과로)
• 1741 — 러시아 정정 불안, 프리드리히 대왕의 초빙으로 베를린 · 아카데미로
• 1766 — 러시아 · 예카테리나 2 세에게 초빙되어, 상트페테르부르크로 복직
• 1771 — 64 세, 왼쪽 눈도 실명 (전맹)
• 1783 년 9 월 18 일 — 상트페테르부르크에서 뇌출혈로 사망, 76 세

업적의 양적 굉장함

• 생애의 논문 · 저작: 866 편
• 전집 (Opera Omnia) 간행은 1911 년 개시, 현재도 계속 중 (80 권 이상)
• 실명 후 (64 세 ~ 76 세) 도 생애 논문의 절반 이상을 집필
• 「전 수학의 절반은 오일러가 썼다」 라고 한다

두 번의 실명 — 「쓸데없는 것이 눈에 들어오지 않고 집중할 수 있다」

• 1735 년 — 오른쪽 눈 실명 (지도 작성 업무의 과로)
• 1771 년 — 왼쪽 눈 실명 (백내장 수술 실패)

오일러는 「이걸로 이제 쓸데없는 것이 눈에 들어오지 않고, 연구에 집중할 수 있다」 라고 말했다고 한다. 실명 후는 아들 · 제자에게 구술 필기 시켜 연구를 계속. 그의 수학적 기억력 · 계산력은 전설적으로, 베르길리우스 [아이네이스] 전 12 권을 암송할 수 있었다 고도 전해진다.

「암산만으로 수학을 계속 쓴 12 년간」 이라는 전대미문의 상황에서, 여전히 생애 논문의 절반을 남겼다.

오일러의 등식 — 「수학에서 가장 아름다운 식」

e^(iπ) + 1 = 0

수학의 5 개의 기본 상수 (0, 1, π, e, i) 를 하나의 등식으로 연결한다. 「수학에서 가장 아름다운 식」 「신의 존재를 느끼게 하는 식」 이라 평가된다.

이는 오일러의 공식 e^(iθ) = cos θ + i sin θ 에서 θ = π 로 한 것. 1748 년 [무한 해석 입문] 에서 공표. 삼각 함수와 지수 함수와 허수를 단숨에 통일 하는 수학사상의 기념비적 발견.

수학의 다분야에의 공헌

분야	주요 공헌
해석학	미적분의 체계화, 무한 급수, 감마 함수, 베타 함수
정수론	페르마 최후 정리 n=3, 두 제곱의 정리, 오일러 함수 φ(n), 제타 함수
복소 해석	오일러의 공식, e^(iθ) = cos θ + i sin θ
미분 방정식	선형 ODE 의 해법, 변분법 (라그랑주와 공동)
기하학	오일러 선, 구점원, 다면체 정리 V − E + F = 2
그래프 이론	쾨니히스베르크의 다리 (1736), 그래프 이론의 창시
역학	강체 운동론, 오일러의 운동 방정식
유체 역학	오일러 방정식
천문학	달의 운동, 삼체 문제, 궤도 계산
음악 이론	음률론
광학	굴절론

쾨니히스베르크의 다리 — 그래프 이론의 탄생 (1736)

동프로이센 · 쾨니히스베르크 시의 7 개의 다리를 한 붓 그리기로 건널 수 있는가 라는 문제. 오일러는 「불가능」 하다고 증명 하고, 그 과정에서 그래프 이론 을 창시했다.

• 각 다리를 변, 각 육지를 정점 으로 하는 그래프 를 생각한다
• 한 붓 그리기 가능의 조건: 홀수 차수의 정점이 0 개 또는 2 개
• 쾨니히스베르크는 전 정점이 홀수 차수이므로 불가능

이 논문은 그래프 이론 · 위상 기하학의 출발점. 「다리의 산책」 이라는 일상의 문제에서, 현대의 네트워크 이론 · 알고리즘 이론에 이르는 계보가 시작되었다.

다면체 정리와 오일러 지표

볼록 다면체에 대해, 정점 수 V, 변의 수 E, 면의 수 F 의 관계:

V - E + F = 2

• 정육면체: V=8, E=12, F=6 → 8-12+6=2
• 정사면체: V=4, E=6, F=4 → 4-6+4=2

이는 위상 기하학 (topology) 의 최초의 불변량 「오일러 지표」 의 발견. 「연속 변형으로 변하지 않는 양」 이라는 현대 위상 기하의 중심 개념의 출발점.

제타 함수와 바젤 문제

오일러는 무한 급수 ζ(s) = Σ 1/n^s 를 체계적으로 연구했다:

• 바젤 문제 — ζ(2) = π²/6 을 1734 년에 해결 (10 년 이상 미해결이었던 초난문)
• 오일러 곱 표시 — ζ(s) = Π_p 1/(1 - p^(-s)) (곱은 소수 전체)
• 소수의 분포와 함수론을 연결하는, 후의 리만 가설로의 포석

「소수」 라는 이산적 대상과, 「해석 함수」 라는 연속적 대상이, 제타 함수에서 연결된다 — 이 발견이, 19 세기의 해석적 정수론 의 출발점이 된다.

오일러 함수 φ(n) — RSA 암호의 이론적 기초

n 이하의 양의 정수로 n 과 서로소인 것의 개수.

• φ(1)=1, φ(2)=1, φ(3)=2, φ(4)=2, φ(5)=4 …
• 페르마-오일러 정리 — gcd(a, n) = 1 일 때 a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
• RSA 암호의 이론적 기초 — 현대 암호의 근간

18 세기의 추상적인 정수론이, 250 년 후의 인터넷 암호의 기반이 되었다. 「순수 수학의 응용의 지연」 의 전형 예.

오일러의 기법 — 현대까지 남는 용어

현대 수학의 기법은 오일러가 정착시켰다:

• f(x) 로 함수를 표시
• 상수 e (자연 로그의 밑)
• 허수 단위 i (√-1)
• 원주율 π (반경의 2 배가 원둘레를 지나는 비의 사용법)
• 합 기호 Σ
• sin, cos 의 현대적 용법

이들은 오일러의 3 부작 ([무한 해석 입문] 1748, [미분 계산] 1755, [적분 계산] 1768-70) 에서 정착. 18 세기 해석학의 결정판 교과서 로서, 유럽 중에서 읽혔다.

교육 · 계몽 — [독일 왕녀에게의 편지]

[독일 왕녀에게의 편지] (1768-72) 는 안할트 · 데사우 왕녀에게 쓴 234 통의 과학 · 철학 해설 서한집. 일반용 과학서로서 대 베스트셀러 가 되어, 다언어로 번역되었다. 「대 수학자가 일반용으로 쓴 과학서」 의 조기의 성공 예.

카를 프리드리히 가우스 — 「수학의 왕」

카를 프리드리히 가우스 (Carl Friedrich Gauss, 1777-1855) 는 독일의 수학자 · 천문학자 · 물리학자. 「수학의 왕 (Princeps Mathematicorum)」 이라 불리며, 아르키메데스 · 뉴턴과 나란히 사상 3 대 수학자 의 한 명으로 여겨진다.

수론, 대수, 기하, 해석, 천문학, 측지학, 전자기학, 통계학 어느 것에도 결정적인 업적을 남겼다. 19 세에 정 17 각형의 작도 가능성을 발견하고, 24 세에 [정수론 연구] 를 출판.

가우스의 「신동」 일화

• 3 세에 아버지의 계산 실수를 지적
• 7 세의 산수 수업: 교사가 「1 부터 100 까지 더해라」 라고 명령하자, 순식간에 5050 이라고 답했다 (1+100=101 이 50 조, 라고 알아차렸다)
• 10 대에 뉴턴, 오일러, 라그랑주의 저작을 소화
• 19 세에 정 17 각형 작도, 이를 계기로 수학자를 지망

가난한 석공 · 원예 장인의 집에 태어나, 브라운슈바이크 공 카를 빌헬름 페르디난트가 재능을 인정해 장학금을 지급. 「왕후 귀족이 평민의 천재를 발견 · 육성했다」 는 18 세기 말 독일의 한 장면.

가우스의 생애

• 1777 년 4 월 30 일 — 브라운슈바이크의 가난한 장인의 집에서 탄생
• 1788 — 브라운슈바이크 공이 재능을 인정해, 장학금을 지급
• 1795-98 — 괴팅겐 대학
• 1796 년 3 월 30 일 — 정 17 각형의 작도 가능성을 발견 (19 세). 이 날부터 수학 일기를 쓰기 시작
• 1799 — 학위 논문 「대수학의 기본 정리」
• 1801 — [정수론 연구 (Disquisitiones Arithmeticae)] 출판, 24 세. 같은 해, 소행성 케레스의 궤도 계산 으로 천문학계에 충격
• 1807 — 괴팅겐 천문대장 취임, 종생 재직
• 1809 — 아내 요한나 사망 (산후 합병증). 가우스 최대의 슬픔
• 1830 년대 — 베버와 전자기학 공동 연구, 전신기를 발명
• 1855 년 2 월 23 일 — 괴팅겐에서 사망, 77 세

정 17 각형 — 2000 년의 침묵을 깨다

「정 n 각형이 컴퍼스와 자만으로 작도 가능」 이 되는 n 의 조건을 발견 (1796):

• n = 2^k × p_1 × p_2 × … (p_i 는 서로 다른 페르마 소수)
• 페르마 소수: F_m = 2^(2^m) + 1 의 형태의 소수. F_0=3, F_1=5, F_2=17, F_3=257, F_4=65537
• 예: 정 3 각형, 정 5 각형, 정 17 각형, 정 257 각형, 정 65537 각형은 작도 가능

고대 그리스 이래 2000 년간, 누구도 정 17 각형이 작도 가능하다고는 생각하지 않았다. 가우스는 자신의 묘에 정 17 각형을 새기도록 희망 했지만, 석공이 「원과 구별이 안 된다」 라고 거절해서, 17 개의 선이 방사상으로 나오는 별 모양 이 새겨졌다.

[정수론 연구] (1801) — 24 세의 걸작

7 섹션, 24 세에서의 출판. 정수론의 근대적 체계를 한 권으로 확립한 불후의 명저:

• I — 합동식의 이론
• II — 일차 합동식
• III — 멱승 잉여
• IV — 이차 잉여, 평방 잉여의 상호 법칙
• V — 이원 이차 형식
• VI — 이차 형식의 응용
• VII — 원주 등분 방정식 (정 17 각형의 이론)

평방 잉여의 상호 법칙

가우스는 이 법칙의 증명을 생애에서 8 통 주었다. 그 자신 「황금 정리 (theorema aureum)」 라고 부르고 사랑했다. 「하나의 정리를 8 회 증명한다」 는, 완벽주의자 가우스의 진면목.

대수학의 기본 정리

「임의의 n 차 대수 방정식은, 복소수의 범위에 n 개의 근을 갖는다」 를 박사 논문에서 증명 (1799, 22 세). 생애에서 4 통의 증명 을 주었다.

소행성 케레스의 궤도 계산 (1801)

1801 년 1 월 1 일, 피아치가 새로운 천체 (후의 소행성 케레스) 를 발견했지만, 겨우 41 일 관측한 것만으로 태양의 방향으로 사라졌다. 많은 천문학자가 재관측의 장소를 예측할 수 없어 막다른 골목이 되었을 때, 가우스가 최소 제곱법 을 이용해 궤도를 계산, 1801 년 말에 가우스 예측의 위치에서 재관측에 성공 했다.

이걸로 가우스는 일약 유럽의 천문학계의 영웅 이 된다. 수학자가 천문학계를 제패한 드문 사례.

가우스 분포 (정규 분포)

관측 오차의 분포로서 가우스 분포 를 도출:

f(x) = (1 / σ√(2π)) exp(-(x-μ)² / 2σ²)

독일의 구 10 마르크 지폐 에 가우스의 초상과 함께 이 곡선이 그려져 있었다 (1989-2001). 「통계학의 근간을 이루는 분포」 를 지폐에 그린다 는 드문 수학적 위업의 경제적 가시화.

완벽주의와 「발표하지 않는 천재」

가우스는 「Pauca, sed matura (적게, 그러나 익은 것을)」 를 모토로 하여, 미완성이라 느낀 연구를 공표하지 않았다. 그 결과:

비유클리드 기하학

1810 년대에 독립적으로 발견했지만, 보수적 학계의 반응을 두려워해 발표하지 않았고, 후에 로바체프스키 (1829), 보야이 (1832) 에게 선두를 빼앗겼다.

가우스는 보야이의 아버지 파르카시 (학생 시절의 친구) 에게 「나는 이미 30 년 전에 이를 발견했었지만, 사회의 반발을 두려워해 발표하지 않았다」 라고 고백한 편지가 남아 있다.

그 외의 미발표

• 타원 함수론 — 아벨, 야코비가 발표하기 전에 독립적으로 도달
• 가우스 적분 등 다수

사후 출판된 일기 (1898 년 발견) 로, 그의 미발표 업적의 방대함 이 명백해졌다. 「발표와 미발표의 이중 생활」 은, 가우스의 특이한 생애 전략.

미분 기하학과 「경이의 정리」

[곡면의 일반 이론] (1827) 에서 곡면의 내재적 기하학을 확립. 가우스 곡률은 곡면의 내재적인 성질 이라는 「경이의 정리 (Theorema Egregium)」 를 증명.

이는 후에 리만에 의해 다양체론으로 일반화 되어, 20 세기의 아인슈타인 일반 상대성 이론의 수학적 기초 가 된다. 19 세기 초의 가우스의 곡면 연구가, 100 년 후의 상대론을 가능하게 했다.

전자기학 — 베버와의 전신기

1831 년부터 빌헬름 베버 와 공동으로 전자기학 연구:

• 지자기의 체계적 측정
• 절대 단위계 (CGS 의 가우스 단위계)
• 전신기의 발명 (1833 년, 괴팅겐에서 실용화) — 현대 통신의 선구
• 가우스의 법칙 (전자기학의 기본 법칙의 하나)

전자기의 단위 「가우스 (G)」 는 그의 이름을 딴 것. 현대의 자기 디스크, 자석의 강도를 나타내는 단위.

가우스의 수학 일기

19 세부터 일기를 쓰고, 간결한 라틴어로 발견을 기록했다 (146 항목). 1898 년에 발견되고 나서, 가우스 연구는 비약적으로 진전. 발표되지 않은 발견의 많음 에 수학계가 경악했다.

「찾았지만 공표하지 않았다」 는 발견이, 100 년 후에 아벨 · 야코비의 업적을 예고하고 있었다 는 것이 판명된다 — 수학사에서의 드문 「후발의 놀라움」.

가우스의 제자 계열 — 괴팅겐의 계보

• 리만 (가우스의 제자, 후에 괴팅겐 교수) — 다양체론
• 데데킨트 (가우스의 제자) — 실수론
• 디리클레 (가우스의 정신적 계승자, 후계의 괴팅겐 교수) — 해석적 정수론

19 세기 후반의 독일 수학 전성의 기점 이 가우스. 괴팅겐 대학은 20 세기 초에 힐베르트 · 클라인 · 뇌터 등의 「수학의 성지」 가 된다.

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18-19 세기의 두 거인 오일러 · 가우스를 따라갔다. 다음 글에서는, 가우스와 동시대 · 그 후의 19 세기의 해석학의 엄밀화 — 코시 · 아벨 · 야코비 에 들어간다. 미적분의 애매한 기초에 ε-δ 논법 으로 엄밀성을 부여한 코시, 26 세에 요절한 노르웨이의 천재 아벨 등, 19 세기 수학의 본격적 근대화 를 따라간다.