코시 · 아벨 · 야코비 — 19 세기 해석학의 엄밀화

19 세기 — 해석학의 「엄밀화」

이전 글 [오일러 · 가우스] 에서 본 18-19 세기의 거인들은, 미적분을 폭발적으로 발전 시켰다. 그러나 그 기초는 애매했다:

• 「무한소」 란 무엇인가 — 오일러는 「무한히 작은 양」 을 직관적으로 다루었다
• 「연속」 이란 무엇인가 — 「끊기지 않는 곡선」 이라는 직관적 정의뿐
• 「수렴」 이란 무엇인가 — 「가까워진다」 는 애매한 개념

19 세기에 들어, 이들을 엄밀히 정의를 다시 한다 는 무브먼트가 일어난다. 그 중심이 오귀스탱 코시 (1789-1857). 동시대의 니엘스 아벨 (1802-1829) 과 카를 야코비 (1804-1851) 는, 타원 함수 라는 새로운 세계를 개척한다. 어느 쪽도 단명의 천재들.

오귀스탱 루이 코시 — 해석학의 재구축자

오귀스탱 루이 코시 (Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857) 는 프랑스의 수학자. 프랑스 혁명 발발의 5 주 후에 파리에서 탄생. 해석학을 엄밀한 학문으로 재구축 하고, 근대적인 극한 · 연속 · 수렴 · 미분 · 적분의 정의 를 확립했다.

생애 논문 수는 약 800 편으로 오일러에 이은 다산. 복소 해석 · 군론 · 치환론 · 탄성론 · 광학 에도 거대한 업적을 남겼다.

생애의 요점

• 1789 년 8 월 21 일 — 파리에서 탄생. 아버지 루이 프랑수아는 법률가
• 소년기는 혁명의 혼란을 피해 시골에서 지냄. 아버지의 교육, 라그랑주 · 라플라스의 지우
• 1805 — 에콜 폴리테크니크 입학
• 1810-1813 — 셰르부르 항만 건설의 기사
• 1816 — 에콜 폴리테크니크 해석학 교수, 파리 과학 아카데미 회원 (27 세)
• 1821 — [해석 교정 (Cours d’Analyse)] 출판 — 해석학 엄밀화의 기념비
• 1830 — 7 월 혁명으로 부르봉 가 실각. 코시는 새로운 왕 루이 필리프에게 충성을 맹세하는 것을 거부, 토리노에 망명
• 1848 — 2 월 혁명 후, 선서 불요가 되어 소르본 대학 교수로 복귀
• 1857 년 5 월 23 일 — 파리 근교에서 사망, 67 세

완고한 왕당파 · 가톨릭 신도

코시는 열심인 왕당파 · 가톨릭 신도. 신조를 위해서라면 직을 잃는 것도 마다하지 않는 고집쟁이. 정치적 신념을 위해 1830 년에 프랑스를 떠나 망명 하는 것은, 학자로서는 드문 선택.

ε-δ 논법의 원형 — 해석학의 엄밀화

그때까지 오일러 이래의 해석학은 「무한소」 「무한대」 를 애매하게 다루고 있었다. 코시는 극한을 중심 개념 에 두고, 이들을 엄밀하게 정의를 다시 했다.

극한의 정의 ([해석 교정] 1821)

「하나의 변량에 축차 대입되는 값이, 주어진 정치에 무한히 가까워지고, 최종적으로 그 차이를 아무리 작게 해도 좋다면, 이 정치는 그 변량의 극한이라 불린다」

이는 현대의 ε-δ 논법의 원형 (완전한 ε-δ 는 바이어슈트라스 가 정비, 19 세기 후반).

연속 함수의 정의

「변수 x 의 충분히 작은 증가 Δx 에 대해, f(x+Δx) - f(x) 도 또한 충분히 작아진다면, f 는 x 에서 연속이다」

수렴 급수의 정의

「부분 합 S_n 이 n → ∞ 에서 극한을 갖을 때, 급수는 수렴한다」

이에 근거해, 코시 수렴 판정법 을 제시.

코시 열과 실수의 완비성

「수열 {a_n} 이 코시 열이란, 임의의 ε > 0 에 대해 N 이 존재하고, m, n > N 이라면 |a_m - a_n| < ε 이 되는 것이다」

실수의 집합은 완비 (코시 열이 반드시 수렴) — 이는 현대 해석학 · 함수 해석의 기초 개념. 「수렴을 극한의 존재에 의존하지 않고 판정한다」 는 발상의 획기성.

복소 해석의 창시

코시는 복소 함수론을 체계적으로 개척 했다:

코시의 적분 정리 (1825)

「정칙 함수 f(z) 의 폐곡선을 따른 선 적분은 제로: ∮ f(z) dz = 0」

코시의 적분 공식

「f(z) 가 영역 내에서 정칙이라면, f(a) = (1/2πi) ∮ f(z)/(z-a) dz」

이는 복소 해석의 중심 정리. 후에 리만 · 바이어슈트라스 가 이론을 발전시켰다.

유수 정리

복소 적분의 계산을 「유수」 (특이점에서의 계수) 의 합으로 귀착시킨다. 물리학 · 공학의 적분 계산에 절대적인 위력. 「실수의 적분을 복소수를 경유해 계산한다」 는 현대적 수법의 출발점.

「매주 논문」 과 4 페이지 규칙

코시는 파리 과학 아카데미의 의사록에 매주 논문을 투고 한 결과, 의사록은 「코시로 채워진다」 라고까지 야유받았다. 1835 년, 아카데미는 「의사록에 투고되는 논문은 1 편 4 페이지까지」 라고 규칙을 만들기에 이르렀다.

「아카데미의 규칙이 한 명의 수학자를 위해 변경된다」 는 전대미문의 사건. 가우스의 「Pauca, sed matura」 와 대조적인 삶의 방식. 「많이 빠르게 쓴다」 vs 「적게 익은」 — 19 세기 수학의 두 가지 태도.

갈루아의 원고 분실 사건

1829 년과 1831 년, 젊은 에바리스트 갈루아 는 군론적 아이디어를 논한 논문을 파리 과학 아카데미에 제출. 처음 심사 담당자는 코시 였지만:

• 1829 년 5 월 — 갈루아의 원고를 코시가 수리했지만, 보고서는 제출되지 않고, 원고의 소재도 불명 이 됨
• 1830 년 1 월 — 코시가 「갈루아의 새로운 논문을 다음 회 제출한다」 라고 말했지만, 2 월의 회합에는 출석하지 않고, 그 후 코시는 7 월 혁명으로 망명

코시가 갈루아의 천재를 이해하고 있었는가, 너무 바빠서 방치했는가, 정치적 편견이 있었는가는 여러 설이 있으며, 현재도 논쟁 중. 어느 쪽이든, 갈루아의 군론의 본격적 평가는 그의 사후 (1846 년, 리우빌에 의한 출판) 까지 기다려지게 되었다. 수학사에서의 최대의 비극 중 하나에, 코시가 그림자를 드리우고 있다.

니엘스 아벨 — 26 세 요절의 북유럽의 천재

니엘스 헨리크 아벨 (Niels Henrik Abel, 1802-1829) 은 노르웨이의 수학자. 26 세에 결핵사 한 비극의 천재. 짧은 생애에도 불구하고, 5 차 방정식의 대수적 해의 불가능성 을 증명하고, 타원 함수론 의 기초를 다졌다.

5 차 방정식의 불가능성 (1824)

3 차 방정식은 카르다노, 4 차 방정식은 페라리가 16 세기에 풀었다. 그러나 5 차 방정식의 일반 해의 공식 은 300 년 가까이 미해결 이었다.

아벨은 1824 년, 22 세에 「5 차 이상의 대수 방정식의 일반 해의 공식은 존재하지 않는다」 는 것을 증명. 파리에서 출판하고, 코시 · 르장드르 · 푸아송 등에게 보냈지만, 무시된다. 「젊은이의 일」 로서 냉대받았다.

타원 함수

아벨은 타원 적분의 역함수 를 생각한다는 혁명적 발상으로, 타원 함수 를 발견. 이것도 1826 년에 파리에서 발표하지만, 코시 · 아카데미는 원고를 분실 (다시!). 사후 1841 년에 리우빌 이 발견 · 출판.

짧은 생애

• 1802 년 8 월 5 일 — 노르웨이 · 핀노이 섬에서 탄생
• 1815 — 오슬로의 대성당 학교 입학, 수학 교사 홀름보에에게 재능을 발견됨
• 1824 — 22 세, 5 차 방정식의 불가능성을 자비 출판
• 1825-27 — 베를린 · 파리 유학. 독일의 크렐 ([수학 잡지] 창간자) 에게 평가받는다
• 1827 — 귀국, 직 없이 빈곤 생활
• 1828 — 타원 함수론의 주요 논문 발표
• 1829 년 4 월 6 일 — 26 세에 결핵사
• 그 2 일 후, 베를린 대학에서의 교수 취임의 초빙장 이 도착

「26 세에 죽기 며칠 전까지, 세계에 인정받지 못했다」 — 수학사에서의 최고의 비극 중 하나. 아벨의 사후, 그 업적은 단숨에 세계적 평가를 받고, 현대의 아벨 군, 아벨 다양체, 아벨상 (노르웨이, 2003 년 ~, 수학계의 최고상 중 하나) 등, 그의 이름을 붙인 개념이 다수 남는다.

카를 야코비 — 아벨의 라이벌

카를 구스타프 야코브 야코비 (Carl Gustav Jacob Jacobi, 1804-1851) 는 독일의 수학자. 아벨과 거의 같은 시기에 타원 함수 를 독자적으로 발전시켰다. 46 세에 천연두사.

베를린 대학에서 배운 후, 겨우 21 세로 쾨니히스베르크 대학 에 직을 얻었다. 형 모리츠 헤르만 폰 야코비 는 물리학자 · 전기 도금의 발명자.

타원 함수론 — 아벨과의 「동시 독립 발견」

아벨과 야코비는 독립적으로, 타원 적분을 역함수로서 다시 파악하는 것을 제안했다. 적분 u = ∫₀ˣ dt/√(…) 을, x = sn(u) 라는 형태로 역전 시킨다.

그러자 sn, cn, dn 이라는 함수는 이중 주기성 을 갖는다. 복소 평면상에서 두 방향으로 주기를 갖는 함수의 발견은, 19 세기 해석학 최대의 혁명 중 하나. 여기에서 복소 함수론 · 대수 기하학 · 모듈러 형식론 이 펼쳐졌다.

야코비는 1829 년에 주저 [타원 함수론의 새로운 기초 (Fundamenta nova)] 를 출판, 세타 함수를 이용한 타원 함수의 체계적 구성을 주었다. 야코비는 「아벨 씨는 나에게 앞서 있었다」 라고 써서 남기고, 서로의 업적을 인정한 드문 예.

야코비안 — 변수 변환의 기초

다변수의 적분의 변수 변환에서 나타나는 행렬식이 「야코비안」 이라 불린다. n 변수의 사상의 편미분의 행렬의 행렬식. 국소적인 부피의 신축률을 나타내고, 확률 밀도의 변환에서 물리의 정준 변환까지, 응용은 끝이 없다. 현대 확률론 · 통계학의 기본 도구.

해밀턴-야코비 방정식

해밀턴의 정준 형식 의 역학에 야코비가 기여하고, 1 계 편미분 방정식 으로서의 「해밀턴-야코비 방정식」 이 정식화되었다. 고전 역학의 가장 세련된 형태 이며, 양자 역학으로의 다리 (슈뢰딩거 방정식의 반고전 극한) 로서도 본질적 역할을 해낸다.

명언

야코비가 푸리에에 응해 말했다고 하는:

「과학의 유일한 목적은 인간 정신의 명예를 위해서다」

「실용을 위한 과학」 에 대한 「순수 수학의 독립 선언」 . 19 세기 독일 수학의 정신을 상징하는 말.

쾨니히스베르크 학파 — 독일 수학의 교육 혁명

야코비는 쾨니히스베르크에서 베셀 (천문학자), 노이만 (물리학자) 등과 쾨니히스베르크 학파 를 형성. 연구 세미나 형식의 교육 을 확립했다. 이는 후에 독일류 대학원 교육의 원형 이 된다.

「교과서를 읽는다」 에서 「함께 연구한다」 로의 전환. 현대의 대학원에서의 연구 지도의 출발점. 19 세기 독일 수학이 20 세기에 이르기까지 세계를 이끈 교육 제도의 기원.

바이어슈트라스 — 엄밀화의 완성

코시의 ε-δ 논법의 원형을, 완전한 형태로 정비한 것이 카를 바이어슈트라스 (1815-1897). 독일의 수학자로, 40 세까지 지방의 고등학교 교사 를 하고 있던 늦게 핀 천재.

엄밀한 ε-δ 논법

「임의의 ε > 0 에 대해, 어떤 δ > 0 가 존재하고, |x - a| < δ 이라면 |f(x) - f(a)| < ε」 — 현대 해석학의 표준 정의를 확립.

병적인 함수의 발견

「연속이지만 도처에서 미분 불가능한 함수」 (바이어슈트라스 함수) 를 구성 (1872). 「연속 → 미분 가능」 이라는 직관을 부순다. 현대 프랙탈 이론의 선구.

이들 코시 · 바이어슈트라스의 엄밀화에 의해, 현대 해석학의 기본 틀 이 완성되었다.

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19 세기 전반, 해석학의 엄밀화와 타원 함수의 발견을 따라갔다. 다음 글에서는, 동시대의 더욱 극적인 두 명의 천재 — 에바리스트 갈루아 (1811-1832, 결투사 20 세) 와 스리니바사 라마누잔 (1887-1920, 결핵사 32 세) 에 들어간다. 군론을 개척한 갈루아, 독학의 인도인 라마누잔 — 「비극의 천재」 의 궁극형을 따라간다.