힐베르트 · 푸앵카레 · 괴델 — 20 세기 초의 기초론

20 세기 수학의 출발점

이전 글 [갈루아 · 라마누잔] 에서 본 비극의 천재들의 시대를 지나, 20 세기는 더욱 제도화된 수학 의 시대로. 그 출발점에 서는 세 사람이:

• 다피드 힐베르트 (1862-1943) — 독일 · 괴팅겐 학파 의 중심, 20 세기 수학의 방향을 결정
• 앙리 푸앵카레 (1854-1912) — 프랑스, 「마지막 만능 수학자」 , 위상 기하 · 카오스 · 상대론
• 쿠르트 괴델 (1906-1978) — 오스트리아, 불완전성 정리로 힐베르트의 구상을 부순다

「수학의 완전성을 증명하자」 라고 한 힐베르트의 꿈이, 1931 년 25 세의 괴델 에 의해 「수학은 자신의 완전성을 증명할 수 없다」 고 제시된다 — 20 세기 수학의 가장 극적인 논리적 전개.

다피드 힐베르트 — 20 세기 수학의 중심

다피드 힐베르트 (David Hilbert, 1862-1943) 는 독일의 수학자로, 20 세기 수학의 방향을 결정지은 중심 인물. 동프로이센 · 쾨니히스베르크 태생 (이전 글 [오일러 · 가우스] 의 오일러의 쾨니히스베르크의 다리와 같은 도시). 1895 년부터 괴팅겐 대학 에 부임, 펠릭스 클라인과 함께 동 대학을 「세계의 수학의 중심지」 로 키워냈다.

업적의 폭

시기	주제	주요 업적
1885-1893	불변식론	힐베르트의 기저 정리
1893-1898	대수적 정수론	[수론 보고] (Zahlbericht)
1898-1902	기하학 기초론	[기하학 기초론]
1900-1910	적분 방정식	힐베르트 공간 의 원형
1910-1920	일반 상대론 · 물리학	아인슈타인과 병행하여 장 방정식을 도출
1920-1930	수학 기초론	힐베르트 프로그램

혼자서 6 개의 주요 분야에 결정적인 공헌. 「가우스 이후 최대의 독일 수학자」 라고 평가된다.

힐베르트의 23 문제 — 1900 년 파리

1900 년 8 월 8 일, 파리에서 개최된 제 2 회 국제 수학자 회의 에서, 힐베르트는 「수학의 문제」 라는 제목의 강연을 하고, 20 세기에 수학이 도전할 23 개의 문제 를 제시했다.

이는 20 세기 수학의 지침 이 되어, 많은 수학자가 이 문제들에 도전했다. 주요 문제:

• 제 1 문제 — 연속체 가설 — 코엔의 강제법에 의해 결정 불능성 이 제시됨 (1963)
• 제 2 문제 — 산술의 무모순성 — 괴델의 불완전성 정리 에 의해 절대 무모순성 증명은 불가능이 판명
• 제 8 문제 — 리만 가설 — 미해결 (밀레니엄 문제 중 하나)
• 제 10 문제 — 디오판토스 방정식의 결정 가능성 — 마티야세비치가 결정 불능성을 증명 (1970)

공리주의 — 「탁자 · 의자 · 맥주잔」

힐베르트의 수학관은 「공리주의」 라 불린다. 대상이 무엇인지가 아니라, 그 대상이 만족하는 성질 (공리) 의 체계 로서 수학을 다룬다. 그는:

「점 · 선 · 면 대신에, 탁자 · 의자 · 맥주잔을 두어도 기하학은 성립해야 한다」

라고 말했다. 「수학의 대상은 구체적인 의미를 벗어나, 기호 조작으로서 다룰 수 있다」 — 이 추상화가, 20 세기 수학의 중심적 방법론이 된다.

[기하학 기초론] (1899) — 유클리드를 엄밀화

유클리드 [원론] 의 공리계에는 암묵의 전제가 포함되어 있어, 논리적으로 엄밀하지 않다는 것이 19 세기 후반에 밝혀져 있었다. 힐베르트는 1899 년 [기하학 기초론] 에서, 결합 · 순서 · 합동 · 평행 · 연속성의 5 군의 공리 를 제시하고, 유클리드 기하를 완전히 엄밀화 했다.

각 공리의 독립성을 보이기 위해 「맥주잔」 (다른 물체로의 치환) 이라는 모델론적 논의 를 구사했다. 이는 현대 수리 논리학의 출발점.

힐베르트 공간 — 양자 역학의 수학적 기초

적분 방정식의 연구 (1900 년대) 에서, 무한 차원의 내적 공간 개념 (현재 힐베르트 공간 이라 불림) 을 도입했다.

힐베르트 공간은 양자 역학의 수학적 기초 가 되어, 상태 벡터가 사는 공간 으로서 물리학의 표준 언어가 되었다. 「순수 수학」 으로서 만들어진 개념이, 20 년 후의 양자 역학의 기본 장치가 되었다.

힐베르트 프로그램 — 「수학 전체를 구한다」 구상

「수학을 유한적 방법으로 무모순이라고 증명한다」 는 구상. 명제 논리 · 술어 논리를 형식적 기호 조작으로서 완전히 명시하고, 그 위에 산술 · 해석학 · 집합론을 구축한다. 이들 체계의 무모순성을, 더 약한 (유한주의적인) 체계에서 증명한다 는 것을 목표로 했다.

「수학은 완전하다」 「수학은 결정 가능하다」 「수학은 무모순이다」 — 이 3 개의 신념을, 수학 자신으로부터 증명하는 것이, 프로그램의 궁극 목표.

1930 년 9 월 8 일, 힐베르트는 쾨니히스베르크에서 「우리는 알아야 한다, 우리는 알 것이다 (Wir müssen wissen, wir werden wissen)」 라고 강연을 마무리 지었다. 그 다음 날, 괴델이 불완전성 정리를 발표했다 — 수학사에서의 가장 아이러니한 하루의 차이.

괴팅겐 학파 — 「세계의 수학의 중심지」

힐베르트의 아래에 모인 수학자 · 물리학자는 20 세기 전반의 과학을 견인 했다:

• 헤르만 바일 — 표현론, 게이지 이론
• 리하르트 쿠란트 — 편미분 방정식, 변분법
• 에미 뇌터 — 추상 대수, 뇌터의 정리
• 존 폰 노이만 — 함수 해석, 양자론, 컴퓨터 설계
• 막스 보른 (물리학) — 양자 역학의 확률 해석

「괴팅겐에 가는 것」 이 20 세기 초의 수학자의 동경이었다.

1933 년 — 나치에 의한 종언

1933 년의 나치 정권 성립 후, 유대계의 교원 · 학생이 차례차례 추방 되어, 괴팅겐의 황금 시대는 끝났다.

나치의 교육 대신 러스트에게 「유대인을 추방한 수학은 지금 어떤가」 라고 물어진 힐베르트는:

「괴팅겐에 수학? 이제 없다」

라고 답했다고 한다. 수학의 정치적 파괴의 상징적 순간. 괴팅겐에서 아메리카 (프린스턴) · 영국으로의 대량 두뇌 유출이, 20 세기 후반의 아메리카 수학의 융성을 준비했다.

앙리 푸앵카레 — 「마지막 만능 수학자」

쥘 앙리 푸앵카레 (Jules Henri Poincaré, 1854-1912) 는 프랑스의 수학자 · 물리학자 · 과학 철학자. 낭시 태생. 19 세기 말부터 20 세기 초에 걸쳐, 순수 수학 · 천체 역학 · 전자기학 · 통계 역학 · 과학 철학의 모든 영역에서 제 1 급의 일 을 남긴 「마지막 만능 수학자」 .

이후, 수학은 전문화가 너무 진행되어, 혼자서 전 영역을 볼 수 있는 수학자는 나타나지 않게 된다. 푸앵카레는 수학사에서의 한 시대의 종말 을 상징한다.

활동 분야

분야	주요 업적	보충
위상 기하	해석 위치 (Analysis Situs) 시리즈	호몰로지, 기본군
역학계	3 체 문제, 푸앵카레 사상	카오스 이론의 원류
자수 함수	푹스 군, 자수 형식	클라인과의 병행 발전
상대론	로렌츠 변환, 푸앵카레 군	특수 상대론의 수학적 형식
확률	에르고드 이론의 전구	푸앵카레의 재귀 정리
과학 철학	규약주의	[과학과 가설]

위상 기하의 창시와 푸앵카레 추측

푸앵카레는 1895 년부터의 시리즈 논문 [해석 위치 (Analysis Situs)] 에서 위상 기하학을 체계적 학문으로서 창시 했다. 다양체, 호몰로지, 기본군, 오일러 지표의 고차원 일반화 등, 현대 위상 기하의 기본 개념의 태반 이 여기에서 도입되었다.

특히 1904 년, 3 차원 구면의 특징 짓기에 관해 제출한 예상:

푸앵카레 추측

「모든 단연결 폐 3 차원 다양체는 3 차원 구면 S³ 와 동상이다」

이는 100 년간 미해결 인 채, 2002-2003 년에 러시아의 그리고리 페렐만이 리치 흐름을 이용해 증명 했다. 21 세기 초의 최대의 수학적 사건. 페렐만은 필즈상과 100 만 달러의 상금을 사퇴 — 다음 글의 주제 중 하나.

3 체 문제와 카오스 이론의 탄생

스웨덴 왕 오스카르 2 세의 현상 문제 (1887) 에서, 푸앵카레는 3 체 문제의 해석에 도전했다. 처음 제출 원고에는 오류가 있어, 인쇄 후에 취소하고 개정판을 내게 된다 (이 사건으로 결과적으로 새로운 발견에 이르렀다).

푸앵카레는:

「태양계 같은 단순한 역학계라도, 초기 조건의 극히 미소한 차이가 시간과 함께 지수 함수적으로 증폭되어, 장기 예측이 원리적으로 불가능해진다」

는 것을 발견했다. 이것이 이른바 카오스의 발견 이며, 20 세기 후반의 로렌츠 기상 모델, 프랙탈 연구, 복잡계 과학 으로 결실을 맺는다. 「결정론적인 방정식에서 예측 불가능성이 태어난다」 는 반직관적인 발견.

특수 상대론으로의 독립 도달

1905 년, 푸앵카레는 로렌츠 변환을 군으로서 처음으로 명시 하고, 현재 「푸앵카레 군」 이라 불리는 대칭성 군을 도입했다. 같은 해, 아인슈타인이 독립적으로 특수 상대성 이론 을 발표한다. 「상대성 원리」 (principe de relativité) 라는 말 자체도, 그가 1904 년에 제창한 것.

「아인슈타인에게 몇 개월 앞서 있었다」 라고 말해지지만, 푸앵카레는 물리적 해석에서 아인슈타인만큼 대담하지 않고, 에테르의 존재를 완전히 버리지 않았다. 역사적 평가로서는 「특수 상대론의 발견자는 아인슈타인, 그 수학적 구조의 동등한 발견자는 푸앵카레」 .

버스 발판의 섬광

푸앵카레 자신의 유명한 일화: 자수 함수의 발견의 순간 을, 그는 버스 발판에 발을 걸친 순간 에 섬광이 왔다고 쓰고 있다:

「의식적인 사고와 무의식의 발효가 교차하는 수학적 발견의 메커니즘」

이는 그의 과학 철학 에세이 [과학과 가설] (1902), [과학과 방법] (1908) 의 주제이기도 하다. 「창조적인 도약이야말로 수학의 핵심」 이라는 직관주의적인 수학관. 힐베르트의 공리주의와 대조적인 입장.

쿠르트 괴델 — 25 세에 힐베르트의 꿈을 부순다

쿠르트 프리드리히 괴델 (Kurt Gödel, 1906-1978) 은 오스트리아 태생의 논리학자 · 수학자. 1931 년에 발표한 「불완전성 정리」 에 의해, 20 세기 수학 기초론을 근본에서 다시 썼다.

빈 대학에서 학위를 취득하고, 힐베르트 프로그램을 내부로부터 붕괴시킨 인물 로서 역사에 이름을 남겼다. 후에 나치로부터의 도망을 위해 아메리카로 건너가, 프린스턴 고등 연구소에서 아인슈타인과 친밀한 우정 을 맺었다.

괴델의 주요 업적

업적	해	내용
완전성 정리	1929	1 계 술어 논리는 완전 (박사 논문)
제 1 불완전성 정리	1931	산술을 포함하는 무모순인 형식 체계에는, 결정 불능인 명제가 존재한다
제 2 불완전성 정리	1931	산술을 포함하는 무모순인 형식 체계는, 자신의 무모순성을 증명할 수 없다
연속체 가설의 상대 무모순성	1940	구성 가능 집합 L 을 사용한 상대 무모순성
회전 우주	1949	일반 상대론의 해, 시간 여행 가능

23 세에 완전성 정리, 25 세에 불완전성 정리 — 「젊음」 과 「극적인 발견」 의 수학사에서의 궁극형.

제 1 불완전성 정리 (1931) — 힐베르트를 부순다

논문 [프린키피아 마테마티카 및 관련 체계의 형식적으로 결정 불능인 명제에 대하여] 에서 증명되었다.

증명의 핵심은 괴델수 (Gödel numbering). 형식 체계의 기호 · 식 · 증명 열에 모두 자연수를 할당하고, 「증명 가능성」 을 자연수의 술어로서 표현한다. 그리고 자기 언급 명제:

「이 명제는 증명할 수 없다」

를 체계 안에서 구성한다. 만약 증명할 수 있다면 거짓이 되어, 모순. 만약 증명할 수 없다면 참. 따라서 체계가 무모순이라면, 이 명제는 결정 불능.

리샤르의 역설, 거짓말쟁이의 역설, 칸토어의 대각선 논법 을 교묘히 수학적으로 형식화한 결과.

제 2 불완전성 정리 — 수학은 자신의 완전성을 증명할 수 없다

제 1 불완전성 정리에서 이어서, 「체계의 무모순성 (Con(T)) 을 표현하는 명제는, 체계 내에서는 증명할 수 없다」 가 도출된다.

힐베르트의 「어떤 체계의 무모순성을 그 체계 내 (또는 약한 체계) 에서 보인다」 는 구상은, 여기에서 원리적 한계에 부딪힌다. 수학이 자기 자신의 완전성 · 무모순성을 자신으로는 증명할 수 없다 — 이것이 20 세기 수학의 최대의 철학적 발견.

힐베르트의 강연과 괴델의 발표 — 24 시간의 비극

• 1930 년 9 월 8 일 — 쾨니히스베르크에서 힐베르트가 「우리는 알아야 한다, 우리는 알 것이다」 라고 강연
• 1930 년 9 월 7 일 — 그 전날, 같은 쾨니히스베르크에서 괴델이 불완전성 정리의 예고 를 발표

힐베르트는 회의에 출석하고 있었지만, 괴델의 발표에 입회하지 않음. 「수학은 완전하다」 라고 계속 믿고 있던 힐베르트는, 같은 회의에서 자신의 꿈이 부서지고 있는 것을 알아차리지 못했다. 수학사에서의 가장 아이러니한 타이밍.

집합론으로의 기여

1938-1940 년, 괴델은 구성 가능 우주 L 을 구성 하고, 「ZF 가 무모순이라면, ZFC + 연속체 가설 + 선택 공리도 무모순」 을 보였다. 이는 집합론 최초의 상대 무모순성 결과.

그 후 코엔이 강제법으로 역방향 (연속체 가설의 부정의 상대 무모순성) 을 보여 (1963), 연속체 가설의 독립성 이 확립된다. 힐베르트의 제 1 문제가 「결정 불능」 으로서 결착이 난 순간.

회전 우주와 아인슈타인

1949 년, 아인슈타인의 70 세의 생일 선물 로서, 괴델은 일반 상대성 이론의 방정식의 해 를 제시했다. 회전하는 우주 모델 로, 닫힌 시간적 곡선 (CTC) 이 존재, 즉 시간 여행이 원리적으로 가능. 물리적으로 현실적이지 않다 하더라도, 일반 상대론의 개념적 가능성을 보인 중요한 해.

프린스턴 — 아인슈타인과의 우정

1940 년에 아메리카에 망명. 프린스턴 고등 연구소에서 종생을 보낸다. 아인슈타인과는 매일 산책하는 사이 가 되어, 만년의 아인슈타인은:

「연구소에 가는 것은 괴델과 이야기하기 위해서다」

라고 말했다고 전해진다. 두 사람 모두 독일어권 출신 (괴델은 유대인이 아니지만 나치 지배 하를 도망갔다) 으로, 고독한 천재끼리의 맹우 관계. 프린스턴에서 괴델과 아인슈타인이 거의 매일 산책하는 모습은, 연구소의 풍물시 였다.

아인슈타인은 추도문에서:

「그는 내가 아는 마지막 진짜 천재다」

라고 썼다. 20 세기 최고의 물리학자가, 20 세기 최고의 논리학자를 인정한 희유한 순간.

미국 시민권 면접의 일화

시민권 면접의 준비 중, 괴델은 합중국 헌법을 정독하고, 「이는 독재 체제가 성립할 수 있는 논리적 허점을 포함하고 있다」 라고 발견했다. 동반한 아인슈타인과 모르겐슈테른 은, 면접에서 그에게 이 「발견」 을 꺼내지 않도록 필사적으로 말렸다 고 한다. 유명한 에피소드.

「논리의 허점을 발견한다」 는 논리학자의 직업병이, 헌법에까지 이르른 드문 사례.

괴델의 비극적인 최후

아인슈타인의 사후, 괴델은 점점 내향적이 되어, 피해망상 (주로 독살에의 공포) 가 강해진다. 아내 아델레가 입원 중, 식사를 계속 거부하여, 1978 년에 굶어 죽었다. 사망 시의 체중은 29 kg.

「식사를 만드는 아내를 유일하게 믿고, 아내가 없으면 먹을 수 없다」 는 극도의 대인 불신 이, 20 세기 최대의 논리학자를 죽음으로 이끌었다. 논리의 거인이, 논리로는 풀 수 없는 인간의 취약성 에 진 최후.

현대로의 영향

힐베르트 → 현대 수학

• 양자 역학 — 힐베르트 공간이 상태 공간으로서 중심 역할
• 컴퓨터 과학 · 논리학 — 힐베르트 프로그램에서 증명론, 결정 문제, 계산 이론 으로
• 대수 기하 — 힐베르트의 영점 정리 (Nullstellensatz)
• 물리 — 힐베르트-아인슈타인 작용, 일반 상대론의 장 방정식

괴델 → 현대 사상

• 컴퓨터 과학 — 괴델수법은 튜링의 계산 가능성 이론의 기초. 프로그램을 데이터로서 다룰 수 있는 이유
• 수리 논리학 — 모델 이론, 증명론, 재귀 이론
• AI · 철학 — 펜로즈 [황제의 새 마음] 은, 괴델의 정리로부터 「인간의 지성은 형식적 계산을 넘는다」 라고 논한다
• 호프스태터 [괴델, 에셔, 바흐] — 괴델의 자기 언급을 에셔의 그림 · 바흐의 음악과 연결지은 컬트적 명저

푸앵카레 → 21 세기

• 역학계 · 카오스 — 기상, 생태, 경제, 신경 과학
• 위상 기하 · 기하 — 4 차원 다양체, 매듭 이론, 게이지 이론
• 물리 — 상대론, 심플렉틱 기하
• 수론 — 보형 형식, 랭글랜즈 프로그램

이 글에서 다음 글로

힐베르트 · 푸앵카레 · 괴델의 20 세기 초의 기초론을 따라갔다. 다음 글에서는, 그 동시대의 여성 수학자 — 에미 뇌터 (1882-1935) 와 소피 제르맹 (1776-1831) 에 들어간다. 힐베르트가 「대학은 목욕탕이 아니다」 라고 말하고 권리를 쟁취한 뇌터, 남성 이름으로 편지를 쓰고 있던 제르맹, 제도와 수학의 교차점에서 업적을 남긴 여성들의 계보를 따라간다.