갈루아와 라마누잔 — 비극의 천재들

비극의 천재 — 궁극의 두 사람

이전 글 [코시 · 아벨 · 야코비] 에서 본 단명의 천재들의 계보의 궁극형이, 에바리스트 갈루아 (1811-1832, 20 세 결투사) 와 스리니바사 라마누잔 (1887-1920, 32 세 결핵사).

• 갈루아 — 프랑스의 공화파 활동가. 결투 전날 밤에 군론의 모든 아이디어를 하룻밤에 써서 남기고, 다음 날 20 세에 사망
• 라마누잔 — 남인도의 독학자. 케임브리지의 하디에게 120 개의 공식을 보내 발견되어, 5 년 영국에 체재 후 귀국, 32 세에 결핵사

어느 쪽도 수학사의 신화 가 되었다. 「이제 시간이 없다」 는 의식 아래에서 남겨진 업적이, 20 세기 이후의 수학을 근본에서 바꾸었다.

에바리스트 갈루아 — 20 세 결투사의 군론 창시자

에바리스트 갈루아 (Évariste Galois, 1811-1832) 는 프랑스의 수학자. 20 세 7 개월에 결투로 목숨을 잃은 요절한 천재로, 겨우 몇 년의 수학 활동으로 군론을 창시 하고, 5 차 이상의 대수 방정식이 대수적으로 풀리지 않는 이유를 구조적으로 해명 했다.

그의 이론은 사후 10 년 이상 지나 리우빌에 의해 출판되어 (1846), 19 세기 후반의 수학자에게 「갈루아 이론」 으로서 인식되고부터, 현대 대수학 · 정수론 · 대수 기하학의 핵심 이 되었다. 「수학사상 가장 극적인 생애」 라고 불린다.

갈루아의 21 년 — 파란의 인생

해	사건
1811 년 10 월 25 일	파리 근교 부르 라 렌에서 탄생. 아버지 니콜라 가브리엘은 시장 (리버럴파)
1823	12 세에 파리의 루이 르 그랑 고등학교 입학
1827 경	16 세에 본격적으로 수학에 접함. 르장드르 [기하학 요론] 을 2 일에 독파, 라그랑주 여러 저작을 흡수
1828	에콜 폴리테크니크 입시에서 불합격 (1 회째)
1829 년 5 월	첫 논문을 파리 과학 아카데미에 제출 (코시가 심사 담당)
1829 년 7 월	아버지 니콜라가 지역의 성직자 · 왕당파의 중상으로 자살
1829 년 8 월	에콜 폴리테크니크 입시 2 회째의 불합격 (격노해서 시험관에게 칠판 지우개를 던졌다고도). 에콜 노르말 쉬페리외르 입학
1830 년 7 월	7 월 혁명 발발, 공화파의 활동에 몸을 던진다
1830 년 12 월	에콜 노르말을 「왕에 대한 비난 기사」 를 쓴 죄로 방교
1831 년 5 월	반정부 연설로 체포, 6 개월의 예심 구류
1831 년 6 월	두 번째 논문을 아카데미에 제출 (푸아송 심사, 후에 「이해하기 어렵다」 로 각하)
1831 년 7 월	혁명 기념 퍼레이드에서 무장하고 체포, 9 개월의 금고형
1832 년 4 월 29 일	출옥, 콜레라 유행 하의 파리에서 요양소로
1832 년 5 월 29 일	스테파니 펠리스 뒤 모텔 이라는 여성을 둘러싸고 「명예를 위한」 결투를 신청받는다
1832 년 5 월 30 일	장티이에서 결투, 총탄을 배에 맞는다
1832 년 5 월 31 일 오전 10 시	코샹 병원에서 사망, 20 세 7 개월

결투 전날 밤 — 「이제 시간이 없다」

결투의 전날 밤, 갈루아는 자신이 다음 날 죽을 것을 각오하고, 밤새워 슈발리에 앞의 유서 를 쓰고, 지금까지의 수학적 아이디어를 정리했다. 편지의 여백에는 「이제 시간이 없다 (Je n’ai pas le temps)」 라고 몇 번이나 쓰여 있다.

「공중에게 부탁하고 싶은 것은, 정리의 정확함이 아니라, 그 중요성을 판단해 주는 것이다」

이 밤의 편지가, 갈루아 이론의 주요 내용을 전하는 근본 자료 가 되었다. 「20 세의 청년이 하룻밤에 현대 대수학의 초석을 써서 남겼다」 — 수학사에서의 가장 극적인 하룻밤.

임종의 말

동생 알프레드에게:

「울지 마라, 20 세에 죽기 위해서는 있는 대로의 용기가 필요하니까」

결투의 진상

결투 상대 · 상황에 대해서는 여러 설이 있어, 현재도 논쟁 중:

• 공화파 활동가 내부의 대립설 — 경찰의 스파이에 의한 함정설
• 삼각 관계설 — 스테파니를 둘러싸고
• 정치적 암살설

스테파니는 결투 상대의 약혼자였다고도, 완전히 무관계했다고도 여러 설이 있다. 갈루아는 결투 상대를 「나의 친구 d’H」 라고 써서 남기고 있지만, 정체는 확정되지 않았다.

갈루아 이론의 핵심

5 차 이상의 대수 방정식 aₙxⁿ + … + a₀ = 0 이 대수적으로 (사칙 연산과 거듭제곱근만으로) 풀리는가 아닌가 를, 그 갈루아 군의 구조 로 판정한다:

• 각 방정식에 근의 치환군 (갈루아 군) 을 대응시킨다
• 「방정식이 대수적으로 풀린다」 ⇔ 「갈루아 군이 가해군이다」
• 5 차 이상의 일반 방정식의 갈루아 군은 대칭군 S_5 로, 이는 가해군이 아니다 (A_5 가 단순군이기 때문)
• 따라서 5 차 이상의 일반 방정식은 대수적으로 풀리지 않는다

이것이 갈루아의 중심 정리.

아벨과의 관계

이전 글의 노르웨이의 니엘스 아벨 (1802-1829) 은, 갈루아보다 조금 앞서 「5 차 방정식은 일반적으로 대수적으로 풀리지 않는다」 를 증명 (1824). 다만 아벨은 「왜 풀리지 않는가」 를 구조적으로 설명한 것은 아니고, 어떤 종류의 불가능성 증명이었다.

갈루아는 「어떤 방정식이 풀리는가 · 풀리지 않는가」 를 군론으로 판정하는 일반 이론 을 세웠다는 점에서 아벨을 넘어섰다.

「군」 의 개념의 발명

갈루아는 「군 (groupe)」 이라는 술어를 처음으로 수학에 도입했다 (1830). 그에게의 군은 치환군 이었지만, 후에 케일리, 조르당, 클라인 등에 의해 추상군으로 일반화 되었다.

군의 개념은 20 세기 이후, 물리학 (대칭성, 리 군), 화학 (분자 대칭성), 결정학, 암호 이론, 소립자 물리학의 모든 장면에서 근본적 역할 을 해낸다.

갈루아 체 — 현대 암호의 기초

p^n 개의 원을 갖는 유한체 GF(p^n) 의 존재와 유일성을 보였다 (1830). 이는 현대 암호 · 부호 이론의 기초:

• 통신로 부호 (리드-솔로몬 부호)
• 타원 곡선 암호
• AES, RSA 등의 암호 알고리즘

「20 세에 결투사한 청년의 군론」 이, 200 년 후의 인터넷의 안전 을 지지하고 있다.

갈루아의 발표사 — 불운의 연속

해	사건
1829 년 5 월	제 1 논문을 아카데미 제출. 코시 심사. 원고 분실 (코시가 7 월 혁명으로 망명)
1830 년 2 월	푸리에에게 제 2 논문 제출. 직후에 푸리에 사망, 원고 분실
1831 년 6 월	제 3 논문 제출. 푸아송 심사, 「이해하기 어렵다」 로 각하
1832 년 5 월 29 일 밤	결투 전날 밤에 슈발리에 앞 유서로서 이론을 요약
1846 년	리우빌이 유고를 정리, [순수 · 응용 수학 잡지] 에 발표. 사후 14 년
1870 년	조르당 [치환론] 에서 갈루아 이론이 체계화된다. 사후 40 년 가까이

갈루아의 이론이 수학계에 본격적으로 인지된 것은 사후 40 년 가까이 후. 이전 글의 아벨이 사후 몇 년에 평가받은 것과 대조적인, 더욱 늦은 「사후의 영광」.

정치와 수학 — 나눌 수 없는 두 개의 혁명

갈루아는 공화파 · 반왕정파의 활동가 였다. 1830 년 7 월 혁명 에 몸을 던지고, 그 후에도 국민 위병 으로서 무장 활동:

• 1831 년 5 월 — 왕 루이 필리프에의 비난 연설로 체포
• 1831 년 7 월 — 무장 퍼레이드에서 재체포
• 옥중에서도 수학 연구를 계속

「갈루아의 수학」 과 「갈루아의 정치」 는 나눌 수 없다. 그에게는 수학은 혁명적 (기존의 방정식론을 근본에서 뒤집는) 이며, 정치 또한 혁명적 이었다. 「수학적 혁신」 과 「정치적 혁명」 의 이중의 정열이, 20 세의 생애에 농축되어 있다.

스리니바사 라마누잔 — 독학의 신비

스리니바사 라마누잔 (Srinivasa Ramanujan, 1887-1920) 은 남인도 · 타밀나두 주 에로데 태생 의 수학자. 정규의 수학 교육을 거의 받지 않고 독학으로 방대한 공식을 발견 하고, 케임브리지 대학의 G.H. 하디 에게 보낸 편지에 의해 세계에 「발견」 되었다.

32 세에 결핵으로 요절 했지만, 3 권의 「노트」 와 미완의 「잃어버린 노트」 에 남겨진 수천의 공식 은, 현대에 이르기까지 연구되고 있다.

독학의 기점 — G.S. 카의 서물

라마누잔은 가난한 브라만 가정 에서 태어났다. 소년 시절에 G.S. 카 [순수 수학과 응용 수학의 개론] 이라는, 정리의 나열 같은 서물을 만나, 이를 「증명하는」 것에 몰두했다.

대학에서는 수학 이외의 과목에 흥미를 보이지 않아, 장학금을 잃고 있다. 마드라스의 항만 사무소에서 일하면서, 그는 독자적인 수학을 발전시켰다.

「증명이 쓰여 있지 않은 정리집」 을, 혼자서 모두 자력으로 증명 · 확장해 간다 — 세계에 예가 없는 독학의 스타일.

1913 년 — 하디에게의 편지

1913 년, 26 세 의 라마누잔은, 당시 영국 수학계의 중심이었던 고드프리 하디 (G.H. Hardy, 1877-1947) 에게 공식집을 동봉한 편지 를 보낸다.

첫 편지에는 기묘하고 아름다운 공식이 약 120 개 나 열려 있었다. 예를 들어:

1 + 2 + 3 + 4 + … = -1/12

이런 (제타 함수의 해석 접속을 경유하는) 형식적 등식이, 아무 설명도 없이 쓰여 있었다. 하디는, 리만, 오일러 등에 필적하는 재능과 직감적으로 느끼고, 「천재 외에는 쓸 수 없다」 라고 판단, 리틀우드와 함께, 라마누잔을 영국에 초빙 하기로 결의했다.

케임브리지 체재 (1914-1919)

1914 년부터 1919 년까지 케임브리지에 체재. 하디와 함께 분할수의 점근 공식 (원주법) 을 확립 한다. 이는 현대의 해석적 정수론에서의 금자탑 중 하나.

분할수 p(n)

자연수 n 을 순서를 무시해서 양의 정수의 합으로 분해하는 방법의 총수 p(n) 에 대해, 라마누잔과 하디는:

p(n) ~ (1 / 4n√3) · exp(π√(2n/3))

라는 점근 공식을 도출했다. 후에 라데마허 가 완전한 수렴 급수로 확장했다.

라마누잔 합동

라마누잔은 합동식 p(5n+4) ≡ 0 (mod 5) 등, 분할수의 정수론적 성질을 다수 발견. 이들은 「라마누잔 합동」 으로서 현대 수론의 중심 대상 중 하나.

택시 수 1729 — 하디와의 일화

하디가 라마누잔을 병문안했을 때의 일화:

하디: 「타고 온 택시의 번호 1729 는 지루한 수다」 라마누잔: 「아니오, 그것은 2 개의 세제곱수의 합으로 2 가지 방법으로 표시할 수 있는 최소의 수 입니다」

1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³

이후, n 개의 방법으로 세제곱합으로 표시할 수 있는 최소의 수는 「택시 수 (Taxi-cab number)」 라고 불린다. 수학자의 직관력을 나타내는 상징적인 에피소드.

「나마기리 여신이 혀에 공식을 쓴다」

라마누잔은 깊은 신앙을 갖는 경건한 힌두교도로, 가족신 나마기리 여신 에게의 신앙을 수학과 일체화시키고 있었다. 그는 「나마기리 여신이 혀 위에 공식을 쓴다」 라고 말했다고 전해진다.

「증명보다도 발견이 먼저」 「형식적 계산과 직관의 융합」 이라는 19 세기 이전의 방식을, 20 세기 초에 부활시킨 희유한 존재. 하디의 엄격한 증명 중시의 수학과, 라마누잔의 직관적인 발견 수학이 같은 연구실에서 공존한 5 년간.

모크 세타 함수 — 죽음의 직전의 「병 메시지」

죽음의 몇 개월 전, 요양처의 쿰바코남에서 하디에게 보낸 마지막 편지에서, 라마누잔은 「모크 세타 함수」 라고 이름 붙인 신종의 함수 를 소개했다.

이는 오랫동안 수수께끼의 개념이었지만, 2000 년대가 되어 츠베거스가 박사 논문에서 「조화 마스 형식 (harmonic Maass form) 의 정칙 부분」 으로서 자리매김 하여, 현대의 보형 형식론의 중요 분야 가 되었다. 죽음의 직전까지 미래를 향해 던져진 병 메시지.

π 에의 고속 수렴 공식

라마누잔은 원주율에 대해 엄청나게 빨리 수렴하는 공식군 을 발견했다:

1/π = (2√2 / 9801) Σ_{k=0}^∞ (4k)! (1103 + 26390k) / ((k!)⁴ · 396^(4k))

이는 1 항당 약 8 자리의 정밀도 로 π 를 준다. 현대의 고정밀 π 계산 알고리즘 (츄드노프스키 형제의 공식) 의 원류 가 되었다. 현대 컴퓨터로 π 를 수조 자리 계산하는 알고리즘의 근원.

채식과 결핵

라마누잔은 육식을 거부하는 엄격한 채식주의자 로, 케임브리지에서의 식사에 고생했다. 이도 결핵의 진행을 앞당긴 요인 으로 여겨진다.

1917 년에 발병, 1919 년에 귀인, 1920 년에 32 세에 사망. 「문화의 차이가 목숨을 줄였다」 — 런던의 안개와 냉기, 익숙하지 않은 식사, 가족과 떨어진 고독이, 천재의 단명을 결정지었다.

하디의 평가

하디는 자신의 업적을 1 부터 100 으로 평가 했을 때:

• 자신은 25
• 리틀우드는 30
• 힐베르트는 80
• 라마누잔은 100

이라고 말했다. 「최대의 공적은 무엇인가」 라고 물어진 하디는 「라마누잔의 발견」 이라고 답했다. 세계 최고의 수학자가, 「독학의 인도인 청년을 발견한 것」 을 자신의 최대의 업적 으로 자리매김했다.

현대로의 영향

갈루아 → 현대 수학의 중심

• 추상 대수 — 군, 환, 체, 가군의 체계
• 대수적 정수론 — 갈루아 군의 표현론, 이와사와 이론, 랭글랜즈 예상
• 대수 기하학 — 스킴론, 에탈 코호몰로지
• 수리 물리 — 대칭성, 게이지 이론, 소립자의 표준 모형
• 정보 이론 — 암호, 부호, 오류 정정

와일즈와 페르마 최후 정리

앤드루 와일즈에 의한 페르마 최후 정리의 증명 (1995) 은, 타원 곡선의 갈루아 표현과 모듈러 형식을 연결하는 다니야마 · 시무라 예상 의 증명에 근거한다. 갈루아 이론 없이는 생각할 수 없는 일.

라마누잔 → 현대의 재평가

• 모크 세타 함수 — 2000 년대에 보형 형식론의 중심 대상으로
• 블랙홀의 엔트로피 — 모크 세타 함수가 양자 중력과 관련되는 연구 (자기어 등)
• π 의 고속 계산 — 현대의 컴퓨터 과학
• AI/기계 학습 — 공식의 자동 발견 (Ramanujan Machine 프로젝트 등) 과의 관련으로 2020 년대에 재평가

영화 · 소설에서의 묘사

• [기적의 수식] (The Man Who Knew Infinity, 2015) — 데브 파텔이 라마누잔, 제레미 아이언즈가 하디를 연기
• [The Indian Clerk] (David Leavitt) — 하디의 내면에서 본 라마누잔상

갈루아: 결투사의 드라마는 수학사 소설의 정번 제재.

이 글에서 다음 글로

19 세기의 비극의 천재들을 따라갔다. 다음 글에서는, 20 세기 초의 기초론 — 힐베르트 · 푸앵카레 · 괴델 에 들어간다. 수학을 완전한 공리계로 기초 짓고자 한 힐베르트의 23 문제 (1900), 그것을 1931 년에 부순 괴델의 불완전성 정리 (25 세), 위상 기하학의 아버지 푸앵카레 — 20 세기 수학이 단숨에 추상화되는 30 년을 따라간다.